Twierdzenie Weierstrassa o kresach
![]() | Ten artykuł dotyczy twierdzenia o funkcjach ciągłych i ich ekstremach. Zobacz też: inne twierdzenia nazwane nazwiskiem Weierstrassa. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Das_Fotoalbum_f%C3%BCr_Weierstra%C3%9F_051.jpg/220px-Das_Fotoalbum_f%C3%BCr_Weierstra%C3%9F_051.jpg)
Twierdzenie Weierstrassa o kresach[1] (znane też pod innymi nazwami) – twierdzenie analizy matematycznej i topologii o własnościach ciągłych funkcji rzeczywistych. W najprostszym przypadku jest to fakt analizy rzeczywistej o takich funkcjach na domkniętych i ograniczonych przedziałach rzeczywistych; mówi, że funkcje te mają globalne ekstrema – wartości najwyższą i najniższą, inaczej maksimum i minimum[2]. Twierdzenia Weierstrassa o kresach używa się w dowodach innych faktów analizy rzeczywistej jak twierdzenie Rolle’a[3].
Przedziały domknięte i ograniczone są ciągowo zwarte na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa i zwarte na mocy twierdzenia Heinego-Borela. Powyższe twierdzenie Weierstrassa o kresach ma uogólnienia opisujące funkcje ciągłe na innych zbiorach zwartych, rozważanych w:
- dowolnych przestrzeniach euklidesowych[4][5];
- dowolnych innych przestrzeniach metrycznych[6];
- dowolnych innych przestrzeniach topologicznych[1][7]. Ta postać jest też znana jako uogólnione twierdzenie Weierstrassa[8].
Nazwa upamiętnia niemieckiego matematyka z XIX wieku: Karla Weierstrassa[5].
Nazewnictwo
Fakt ten jest też znany jako twierdzenie:
- Weierstrassa[9][10][11];
- Weierstrassa o osiąganiu kresów[12][13][4];
- Weierstrassa o przyjmowaniu kresów[14][15];
- Weierstrassa o ekstremach globalnych[16];
- Weierstrassa o funkcji ciągłej na przedziale domkniętym[2];
- o najmniejszej i największej wartości funkcji[17].
Bywa też wykładany bez osobnej nazwy[18].
Przypadek zmiennej rzeczywistej
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/Extreme_Value_Theorem.svg/220px-Extreme_Value_Theorem.svg.png)
Twierdzenie
Jeśli funkcja rzeczywista jest ciągła, to:
- jej obraz jest ograniczony;
- funkcja ta osiąga swoje kresy, tzn. ma globalne minimum i maksimum:
Dowód
- Każdy z przedziałów dla jest zbiorem otwartym, a jest ciągła, więc ich przeciwobrazy też są otwarte (w zbiorze ). Rodzina pokrywa przedział więc ze zwartości tego ostatniego istnieje podpokrycie skończone – istnieją dla których Wówczas dla dowolnego mamy gdzie co oznacza, że jest funkcją ograniczoną.
- Oznaczmy kres górny obrazu przez i istnieje ciąg punktów przedziału dla których ciąg jest zbieżny do Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg ciągu zbieżny do pewnej granicy Wtedy na mocy ciągłości funkcji otrzymujemy A więc wartość funkcji w punkcie jest kresem górnym obrazu (a więc także dla wszystkich ). W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby dla której
Analiza założeń
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Tangent_one_period.svg/220px-Tangent_one_period.svg.png)
Oba założenia o dziedzinie funkcji – czyli że odcinek jest domknięty i ograniczony – są istotne[19]. Na przykład:
- funkcja jest ciągła, ale nie jest ograniczona;
- podobnie nie jest ograniczona, mimo że dziedzina – cała prosta – jest domknięta.
Przypisy
- ↑ a b Przymusiński 1995 ↓, s. 201.
- ↑ a b
Szymon Charzyński, Twierdzenie Weierstrassa o funkcji ciągłej na przedziale domkniętym, kanał Khan Academy na YouTube, 3 maja 2014 [dostęp 2024-07-09].
- ↑ Strzelecki 2018 ↓, s. 126.
- ↑ a b Leksiński, Nabiałek i Żakowski 1995 ↓, s. 113.
- ↑ a b Wrzosek 2016 ↓, s. 122.
- ↑
Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 2, wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient, wazniak.mimuw.edu.pl, 17 maja 2024 [dostęp 2024-07-09].
- ↑ Smoluk 2017 ↓, s. 34.
- ↑ Kuratowski 1972 ↓, s. 197.
- ↑
Michał Bełdziński, Twierdzenie Weierstrassa, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09].
- ↑
Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 8: Granica i ciągłość funkcji, 8. Twierdzenie Weierstrassa, wazniak.mimuw.edu.pl, 17 maja 2024 [dostęp 2024-07-09].
- ↑ Szymczyk i in. 2001 ↓, s. 84.
- ↑
Anna Barbaszewska-Wiśniowska, Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Własności funkcji ciągłych, serwis Open AGH, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2024-07-09].
- ↑ Leksińska i Leksiński 1978 ↓, s. 111.
- ↑ Strzelecki 2018 ↓, s. 92.
- ↑ Krych 2010 ↓, s. 119.
- ↑ Rudnicki 2006 ↓, s. 534, 535.
- ↑ Banach 1957 ↓, s. 296.
- ↑ Leja 1963 ↓, s. 57.
- ↑ a b Strzelecki 2018 ↓, s. 93.
Bibliografia
- Książki publikowane drukiem
- Stefan Banach: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
- Michał Krych: Analiza matematyczna dla ekonomistów. Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-235-0776-5.
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972, seria: Biblioteka Matematyczna.
- Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1963, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 2.
- Anna Leksińska, Wacław Leksiński: Elementy matematyki wyższej. Warszawa: PWN, 1978, seria: Matematyka dla politechnik.
- Wacław Leksiński, Ireneusz Nabiałek, Wojciech Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania. Wyd. V. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, seria: Podręczniki akademickie: elektronika, informatyka, telekomunikacja. ISBN 83-204-1892-5.
- Teodor Przymusiński: Topologia ogólna [w:] Leksykon matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1995. ISBN 83-214-0783-8.
- Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14946-8.
- Antoni Smoluk: Analiza matematyczna. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-634-3.
- Tomasz Szymczyk, Stanisław Rabiej, Anna Pielesz, Jan Desselberger: Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne, astronomiczne. Bielsko-Biała: PPU Park, 2001. ISBN 83-7266-054-9.
- Dariusz Wrzosek: Matematyka dla biologów. Wyd. II, zmienione. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2016. ISBN 978-83-235-0460-3.
- Dokumenty cyfrowe
- PawełP. Strzelecki PawełP., Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) [online], mimuw.edu.pl, 14 grudnia 2018 [dostęp 2024-07-08] .
Linki zewnętrzne
Alicja Dembczak-Kołodziejczyk, Jak wyznaczyć największą/najmniejszą wartość funkcji?, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09].
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Extreme Value Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-14].
- p
- d
- e
odmiany (warunki wystarczające) | |||||
---|---|---|---|---|---|
uogólnienia (warunki konieczne) | |||||
twierdzenia | |||||
powiązane funkcje |
| ||||
inne powiązane tematy | |||||
uczeni |