Twierdzenie Winogradowa

Twierdzenie Winogradowa to wynik z zakresu analitycznej teorii liczb odpowiadający na pytanie, na ile sposobów każdą dostatecznie dużą liczbę nieparzystą można przedstawić jako sumę trzech liczb pierwszych. Prostym wnioskiem płynącym z twierdzenia jest fakt, że każda dostatecznie duża liczba nieparzysta spełnia słabą hipotezę Goldbacha.

Treść twierdzenia oraz dowód zostały sformułowane po raz pierwszy przez Iwana Winogradowa w 1937 r^[1]. Hardy i Littlewood udowodnili wcześniej, że twierdzenie jest wnioskiem z uogólnionej hipotezy Riemanna^[2], Winogradow wykazał je bezwarunkowo.

Niech ${\displaystyle A>0}$ będzie pewną stałą. Zdefiniujmy

${\displaystyle r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),}$

gdzie ${\displaystyle \Lambda }$ oznacza funkcję von Mangoldta. To znaczy, że ${\displaystyle r(N)}$ sumuje liczbę sposobów przedstawienia ${\displaystyle N}$ jako sumy trzech potęg liczb pierwszych o wykładnikach ${\displaystyle \geqslant 1,}$ zmodyfikowanych o pewne wagi (wynikające z postaci funkcji ${\displaystyle \Lambda }$). Wówczas

${\displaystyle r(N)={\frac {1}{2}}G(N)N^{2}+O\left({\frac {N^{2}}{(\log n)^{A}}}\right),}$

gdzie ${\displaystyle O}$ oznacza notację dużego O, przy czym funkcja ${\displaystyle G}$ może być przedstawiona w postaci iloczynu Eulera

${\displaystyle G(N)=\left(\prod _{p|N}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\right)\left(\prod _{p\not \mid N}\left(1+{\frac {1}{(p-1)^{3}}}\right)\right).}$

Ponieważ wartości ${\displaystyle |G(N)|}$ dla ${\displaystyle N}$ nieparzystych są ograniczone przez stałą, ${\displaystyle r(N)>0}$ dla dostatecznie dużych nieparzystych ${\displaystyle N.}$ Pokazując, że część ${\displaystyle r(N),}$ w której sumujemy po potęgach liczb pierwszych o wykładnikach ${\displaystyle >1}$ jest rzędu ${\displaystyle O\left(N^{\frac {3}{2}}(\log N)^{2}\right),}$ możemy wykazać, że

${\displaystyle {\frac {N^{2}}{(\log N)^{3}}}\ll \left|\{(p_{1},p_{2},p_{3})\colon N=p_{1}+p_{2}+p_{3},\quad p_{1},p_{2},p_{3}\in \mathbb {P} \}\right|,}$

gdzie ${\displaystyle \ll }$ oznacza notację Winogradowa. W efekcie wnioskiem płynącym z twierdzenia Winogradowa jest słabsza wersja słabej hipotezy Goldbacha.

Winogradow swój dowód oparł przede wszystkim na metodzie łuków Hardy’ego-Littlewooda. Jednakże w odróżnieniu od szeregu potęgowego zastosowanego pierwotnie przez matematyków w kontekście problemu Waringa, Winogradow rozważa skończoną sumę eksponencjalną

${\displaystyle S(\alpha )=\sum _{k\leqslant N}\Lambda (k)e(k\alpha ),}$

gdzie ${\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix},}$ ${\displaystyle \Lambda }$ jest jak wyżej, a ${\displaystyle N}$ jest pewną ustaloną stałą. Ponieważ interesują nas sumy postaci ${\displaystyle \sum \Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),}$ podnosimy sumę do potęgi trzeciej,

${\displaystyle S(\alpha )^{3}=\sum _{n\leqslant 3N}\left(\sum _{\begin{array}{c}k_{1}+k_{2}+k_{3}=n\\k_{1},k_{2},k_{3}\leqslant N\end{array}}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3})\right)e(n\alpha ).}$

Oznaczając powyższe współczynniki przez ${\displaystyle r(n,N),}$ widzimy, że ${\displaystyle r(n,N)=r(n)}$ dla ${\displaystyle n\leqslant N.}$ Wystarczy zatem, że podamy oszacowanie na ${\displaystyle r(n,N).}$

Skoro ${\displaystyle S(\alpha )^{3}}$ jest sumą trygonometryczną, jej współczynniki możemy wyrazić za pomocą całki

${\displaystyle r(n,N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha .}$

Stosując wspomnianą metodę łuków, przedział ${\displaystyle [0,1]}$ dzielimy na duże łuki (zbiory liczb o dobrych przybliżeniach wymiernych) i mniejsze łuki (pozostałe). Jako ${\displaystyle B>0}$ wybieramy pewną stałą, oznaczamy ${\displaystyle P=(\log n)^{B}}$ i ${\displaystyle Q={\frac {n}{P^{2}}}.}$ Dla liczb ${\displaystyle (a,q)=1}$ definiujmy

${\displaystyle M(a,q)=\left\{\alpha \in [0,1]\colon \left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|\leqslant {\frac {1}{Q}}\right\}}$

oraz

${\displaystyle M=\bigcup _{\begin{array}{c}(a,q)=1\\q\leqslant Q\end{array}}M(a,q)}$

– zbiór ten nazywamy zbiorem dużych łuków. Zbiór ${\displaystyle m=[0,1]\setminus M}$ nazywamy zbiorem mniejszych łuków. Stosując podział

${\displaystyle \int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha =\int _{M}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha +\int _{m}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha }$

możemy ostatecznie uzyskać postulowaną zależność dla ${\displaystyle r(n,N).}$ Konkretnie, stosując m.in. twierdzenie Siegela-Walfisza, sumy Gaussa i sumy Ramanujana możemy uzyskać

${\displaystyle \int _{M}S(\alpha )^{3}e(-N\alpha )d\alpha ={\frac {1}{2}}G(N)N^{2}+O\left({\frac {N^{2}}{(\log N)^{B-1}}}\right),}$

gdzie ${\displaystyle G(N)}$ jest jak wyżej, oraz

${\displaystyle \int _{m}S(\alpha )^{3}e(-N\alpha )d\alpha =O\left({\frac {N^{2}}{(\log N)^{{\frac {B}{9}}-6}}}\right).}$

W połączeniu, z obu powyższych zależności wynika treść twierdzenia.