Twierdzenie Winogradowa to wynik z zakresu analitycznej teorii liczb odpowiadający na pytanie, na ile sposobów każdą dostatecznie dużą liczbę nieparzystą można przedstawić jako sumę trzech liczb pierwszych. Prostym wnioskiem płynącym z twierdzenia jest fakt, że każda dostatecznie duża liczba nieparzysta spełnia słabą hipotezę Goldbacha.
Treść twierdzenia oraz dowód zostały sformułowane po raz pierwszy przez Iwana Winogradowa w 1937 r[1]. Hardy i Littlewood udowodnili wcześniej, że twierdzenie jest wnioskiem z uogólnionej hipotezy Riemanna[2], Winogradow wykazał je bezwarunkowo.
Treść twierdzenia
Niech
będzie pewną stałą. Zdefiniujmy
![{\displaystyle r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f984c8432549d762355293ec5c58fa4f7195ec)
gdzie
oznacza funkcję von Mangoldta. To znaczy, że
sumuje liczbę sposobów przedstawienia
jako sumy trzech potęg liczb pierwszych o wykładnikach
zmodyfikowanych o pewne wagi (wynikające z postaci funkcji
). Wówczas
![{\displaystyle r(N)={\frac {1}{2}}G(N)N^{2}+O\left({\frac {N^{2}}{(\log n)^{A}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/befd1cb05cbae1ec48ff40921d4398a36ab996b2)
gdzie
oznacza notację dużego O, przy czym funkcja
może być przedstawiona w postaci iloczynu Eulera
![{\displaystyle G(N)=\left(\prod _{p|N}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\right)\left(\prod _{p\not \mid N}\left(1+{\frac {1}{(p-1)^{3}}}\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7035fc9e226a4ae332be2300cc2a516eb4f6e4d6)
Wniosek
Ponieważ wartości
dla
nieparzystych są ograniczone przez stałą,
dla dostatecznie dużych nieparzystych
Pokazując, że część
w której sumujemy po potęgach liczb pierwszych o wykładnikach
jest rzędu
możemy wykazać, że
![{\displaystyle {\frac {N^{2}}{(\log N)^{3}}}\ll \left|\{(p_{1},p_{2},p_{3})\colon N=p_{1}+p_{2}+p_{3},\quad p_{1},p_{2},p_{3}\in \mathbb {P} \}\right|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f19d4ab06da3199f90ac1070872941ce6d68ec)
gdzie
oznacza notację Winogradowa. W efekcie wnioskiem płynącym z twierdzenia Winogradowa jest słabsza wersja słabej hipotezy Goldbacha.
Strategia dowodu
Winogradow swój dowód oparł przede wszystkim na metodzie łuków Hardy’ego-Littlewooda. Jednakże w odróżnieniu od szeregu potęgowego zastosowanego pierwotnie przez matematyków w kontekście problemu Waringa, Winogradow rozważa skończoną sumę eksponencjalną
![{\displaystyle S(\alpha )=\sum _{k\leqslant N}\Lambda (k)e(k\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df72a6eecb993af1956430de359315fe1d7e91c)
gdzie
jest jak wyżej, a
jest pewną ustaloną stałą. Ponieważ interesują nas sumy postaci
podnosimy sumę do potęgi trzeciej,
![{\displaystyle S(\alpha )^{3}=\sum _{n\leqslant 3N}\left(\sum _{\begin{array}{c}k_{1}+k_{2}+k_{3}=n\\k_{1},k_{2},k_{3}\leqslant N\end{array}}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3})\right)e(n\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cd85dd1010e625d92b679e8ed6a92fc82c3eca)
Oznaczając powyższe współczynniki przez
widzimy, że
dla
Wystarczy zatem, że podamy oszacowanie na
Skoro
jest sumą trygonometryczną, jej współczynniki możemy wyrazić za pomocą całki
![{\displaystyle r(n,N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7a5ae41b44a526c14689d2aeca3c1d6b7b5e72)
Stosując wspomnianą metodę łuków, przedział
dzielimy na duże łuki (zbiory liczb o dobrych przybliżeniach wymiernych) i mniejsze łuki (pozostałe). Jako
wybieramy pewną stałą, oznaczamy
i
Dla liczb
definiujmy
![{\displaystyle M(a,q)=\left\{\alpha \in [0,1]\colon \left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|\leqslant {\frac {1}{Q}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b931919d9239264bba50e818cf658791b769fac5)
oraz
![{\displaystyle M=\bigcup _{\begin{array}{c}(a,q)=1\\q\leqslant Q\end{array}}M(a,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8129582ad04ec1c5580c65c1b89d9c009a6197)
– zbiór ten nazywamy zbiorem dużych łuków. Zbiór
nazywamy zbiorem mniejszych łuków. Stosując podział
![{\displaystyle \int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha =\int _{M}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha +\int _{m}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68f8a49f75c41cbf129130332e161ea92ad8b65)
możemy ostatecznie uzyskać postulowaną zależność dla
Konkretnie, stosując m.in. twierdzenie Siegela-Walfisza, sumy Gaussa i sumy Ramanujana możemy uzyskać
![{\displaystyle \int _{M}S(\alpha )^{3}e(-N\alpha )d\alpha ={\frac {1}{2}}G(N)N^{2}+O\left({\frac {N^{2}}{(\log N)^{B-1}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161ac28872080ae73d70f90b48559d0ed923c36b)
gdzie
jest jak wyżej, oraz
![{\displaystyle \int _{m}S(\alpha )^{3}e(-N\alpha )d\alpha =O\left({\frac {N^{2}}{(\log N)^{{\frac {B}{9}}-6}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc08c38c5be760fd2a539e007c3782a1fa48ad10)
W połączeniu, z obu powyższych zależności wynika treść twierdzenia.
Przypisy
- ↑ N. Rouse, Vinogradov’s three prime theoremhttps://math.uchicago.edu/~may/REU2013/REUPapers/Rouse.pdf, 2013 (ang.).
- ↑ G.H.G.H. Hardy G.H.G.H., J.E.J.E. Littlewood J.E.J.E., Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes, „Acta Mathematica”, 44 (0), 1923, s. 1–70, DOI: 10.1007/bf02403921, ISSN 0001-5962 [dostęp 2023-08-11] .
Encyklopedie internetowe (twierdzenie):
- Britannica: topic/Vinogradovs-theorem