Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego
![]() | Ten artykuł dotyczy podstawowego twierdzenia Cauchy’ego. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy’ego. |
Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że dla funkcji holomorficznej całka z niej po drodze zamkniętej – tzw. całka okrężna – jest równa zero[1]. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego w 1825 roku[2]. Cauchy wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.
Mimo dużego znaczenia, tej teorii w analizie zespolonej, Cauchy nie widział w niej nic wyjątkowego[3]. Dlatego praca z 1825 roku, nie była przez niego cytowana aż do roku 1851[4]. Cytowanie swoich prac było jego częstym zabiegiem[3].
Twierdzenie to ma wiele nazw: twierdzenie Cauchy’ego o całce krzywoliniowej bądź twierdzenie całkowe Cauchy’ego, ale również twierdzenie Cauchy’ego-Goursata, czy nawet lemat Goursata (nie mylić z lematem Goursata w teorii grup).
Twierdzenie
Niech będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą ponadto oznacza funkcję analityczną na obszarze dla którego Wówczas
Wnioski
- Jeśli funkcja jest analityczna w obszarze jednospójnym oraz to dla każdych kawałkami gładkich krzywych łączących z mamy
Zatem możemy zdefiniować całkę
(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania).
- Dla jak powyżej określmy funkcję przez
Wówczas funkcja jest analityczna oraz
- Niech będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym z wyjątkiem punktów oraz niech będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią taką że okręgi o środku w i promieniu (dla ) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas
(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio).
Zobacz też
- twierdzenie o residuach
- wzór całkowy Cauchy’ego
Przypisy
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 221.
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 220.
- ↑ a b Jahnke 2003 ↓, s. 222.
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 224.
Bibliografia
- Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 89–95.
- Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 105–108, seria: Monografie Matematyczne. Tom 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.
- Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
- Catalana: 0225097
- DSDE: Cauchys_integralsætning