Wielokąt Petriego
Wielokąt Petriego dla foremnego wielotopu -wymiarowego – wielokąt skośny, którego każde kolejne boków (ale nie ) należy do pewnej komórki wielotopu. Wielokąt Petriego dla wielokąta foremnego to ten sam wielokąt foremny, natomiast wielokąt Petriego dla wielościanu foremnego to wielokąt skośny, którego każde kolejne 2 (ale nie 3) boki należą do pewnej ściany wielościanu.
Dla każdego foremnego wielotopu istnieje jego rzut prostokątny na płaszczyznę, w którym wielokąt Petriego przechodzi na wielokąt foremny, a cała reszta jest zrzutowana do jego wnętrza. Wspominana płaszczyzna jest płaszczyzną Coxetera, będącą jedną z płaszczyzn symetrii wielotopu. Natomiast liczba ścian wielokąta (zwyczajowo oznaczana przez ) jest liczbą Coxetera z grupy Coxetera. Te wielokąty i ich rzuty są przydatne w wizualizacji struktur symetrii wielotopów z wyższych wymiarów.
Wielokąty Petriego dla wielościanów foremnych
Dla wielokąta Petriego wielościanu foremnego o symbolu Schläfliego mającego ścian zachodzi wzór:
Szkic dowodu
Niech wielościan powstaje przez odwzajemnienie (ang. reciprocation) względem jego sfery półwpisanej. Część wspólna wielościanów i razem z wnętrzem tworzy quasiforemny wielościan którego wierzchołkami są środki krawędzi zarówno jak i Jego ściany są linkami (ang. vertex figures) wyjściowych wielościanów, czyli -kątami foremnymi i -kątami foremnymi. Z każdego wierzchołka wychodzą 4 krawędzie, dwie będące kolejnymi bokami -kąta i dwie -kąta. Zatem vertex figure jest prostokątem. Przeciwległe wierzchołki tego prostokąta są środkami boków dwóch kolejnych boków -kąta. Boki tego prostokąta mają długości oraz gdzie jest długością krawędzi wielościanów i Przekątną prostokąta jest linkiem -kąta, czyli odcinkiem o długości Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
Inne wzory na ilość boków wielokąta Petriego wielościanu
gdzie – liczba krawędzi wielościanu.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Petrie_polygons.png/900px-Petrie_polygons.png)
- Wielokąty Petriego dwóch wielościanów dualnych są takie same. Wielokąty Petriego wielościanów foremnych: czworościanu to kwadrat, sześcianu i ośmiościanu to sześciokąt foremny, a dwunastościanu i dwudziestościanu to dziesięciokąt foremny.
Bibliografia
- Harold S.M. Coxeter, Regular Polytopes.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Petrie Polygon, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).