Wielokąt foremny
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Forymne_wjelok%C5%AFnty3.gif/220px-Forymne_wjelok%C5%AFnty3.gif)
Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0°.
Trójkąt foremny jest określany jako trójkąt równoboczny, czworokąt foremny – jako kwadrat.
Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.
Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.
Wzory
Przyjęte oznaczenia:
- – liczba boków wielokąta foremnego,
- – długość jednego boku wielokąta.
- Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:
- Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):
- Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:
- Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny:
- Wzory na długość boku wielokąta foremnego:
- Wzór na obwód wielokąta foremnego:
- Wzory na pole powierzchni wielokąta foremnego:
- Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:
- gdzie
- Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)
Tabela wielokątów foremnych
Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.
Nazwa | Ilustracja | Liczba boków | Miara kąta wewnętrznego | Konstruowalny cyrklem i linijką? |
---|---|---|---|---|
Trójkąt równoboczny | ![]() | 3 | ![]() | |
Kwadrat | ![]() | 4 | ![]() | |
Pięciokąt foremny | ![]() | 5 | ![]() | |
Sześciokąt foremny | ![]() | 6 | ![]() | |
Siedmiokąt foremny | ![]() | 7 | ![]() | |
Ośmiokąt foremny | ![]() | 8 | ![]() | |
Dziewięciokąt foremny | ![]() | 9 | ![]() | |
Dziesięciokąt foremny | ![]() | 10 | ![]() |
Zobacz też
![]() | Zobacz hasło wielokąt foremny w Wikisłowniku |
- p
- d
- e
trójkąty |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
czworokąty |
| ||||||
inne grupy z ustaloną liczbą boków |
| ||||||
wielokąty foremne |
| ||||||
wielokąty gwiaździste |
| ||||||
inne | |||||||
obiekty nazywane jak wielokąty |
| ||||||
uogólnienia |
- Britannica: topic/regular-polygon