Wymiar Hausdorffa
Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa[1].
Definicja
Niech Niech będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru określamy miarę zewnętrzną
gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów które pokrywają i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej
Gdy maleje, to rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa[2] (dla wykładnika ):
Łatwo sprawdzić, że:
- dla każdego
- dla każdego
Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako
Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny
Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze nie mniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)[3] udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.
Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)[4] wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez
Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witolda Hurewicza i Henry’ego Wallmana[5]; patrz też rosyjskie tłumaczenie[6], gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.
Praktyczna metoda wyznaczania
![]() | Ten artykuł należy dopracować: Nie da się tego napisać po ludzku? Autor to rozumie, bo zna, lecz gdyby nie znał?. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, obliczanie wymiaru fraktalnego może okazać się trudne[7]. Jednak dla pewnej klasy obiektów fraktalnych można korzystać z następującego twierdzenia[8][9]:
Niech będzie atraktorem układu iterowanych odwzorowań będących zwężającymi podobieństwami o skalach podobieństwa Ponadto załóżmy, że obrazy atraktora są rozłączne, to znaczy, że dla każdego zachodzi Wtedy wymiar Hausdorffa jest równy liczbie będącej rozwiązaniem równania:
Powyższe równanie jest konsekwencją następującego zapisu oraz własnościami miary
Przykład: dywan Sierpińskiego:
Dywan Sierpińskiego jest atraktorem układu IFS ośmiu podobieństw o skalach podobieństwa Wtedy rozwiązaniem równania
jest
Dla kostki Mengera będzie to więc dla piramidy Sierpińskiego a dla zbioru Cantora
Przypisy
- ↑ Hausdorffa wymiar, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .
- ↑ F. Hausdorff, „Mathematische Annalen”, 79 (1918), s. 157–179.
- ↑ Edward Szpilrajn, La dimension et la meure, Fund. Math., 28 (1937), 81–89.
- ↑ Об одном метрическом свойстве размерности, Annals of Mathematics 33 (1932), 156–162.
- ↑ Witold Hurewicz, Henry Wallman, Dimension Theory, 1941.
- ↑ Witold Hurewicz i Henry Wallman, Теория Размерности, И*Л, 1948, Μοсква.
- ↑ D. Saupe, H. Jürgens, H.-O. Peitgen, Fraktale – granice chaosu, PWN, Warszawa 1995, t. I, s. 273–295.
- ↑ Jacek Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 2007, wydanie czwarte, s. 58–61.
- ↑ Gerald Egdar, Measure, topology and fractal geometry, Springer-Verlag, 1990.
- PWN: 3910414