Zagadnienie poprawnie postawione

Zagadnienie poprawnie postawione (dobrze postawione) – zagadnienie fizyczne lub matematyczne opisane przez układ równań różniczkowych cząstkowych i zachowujące się dobrze w zastosowaniach praktycznych.

Def. Zagadnieniem poprawnie postawionym nazywamy zagadnienie:

${\displaystyle F(x,u,Du,\dots ,D^{m}u)=0,u:{\mathcal {D}}\to \mathbb {R} ^{n}}$

wraz z warunkami brzegowymi

${\displaystyle Au=G,}$

które spełnia następujące warunki:

1. Rozwiązanie równania istnieje w odpowiedniej wymaganej klasie regularności, np. typowo ${\displaystyle C^{2}(int({\mathcal {D}}))\cap {}C^{0}(\partial {\mathcal {D}}).}$
2. W tej klasie rozwiązanie jest jednoznaczne.
3. W tej klasie rozwiązanie jest stabilne, tj. jeśli mamy takie same zagadnienia z różnymi warunkami brzegowymi ${\displaystyle Au_{0}=G_{0},}$ ${\displaystyle Au_{1}=G_{1}}$ oraz warunki brzegowe są „bliskie” ${\displaystyle \|G_{0}-G_{1}\|<\epsilon ,}$ to rozwiązania równań są również „bliskie” ${\displaystyle \|u_{0}-u_{1}\|<\epsilon .}$ Inny słowy rozwiązanie jest ciągłe względem warunków początkowych.

Zagadnienia dobrze postawione są ważne z praktycznego punktu widzenia: ich rozwiązania można dobrze obliczać.

• równanie falowe
• równanie przewodnictwa cieplnego
• równanie różniczkowe
• równanie sztywne