Anel (matemática)
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Estruturas algébricas |
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Tipo grupo
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Tipo anel
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Tipo reticulado
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Tipo módulo
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Tipo álgebra
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Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.[1]
Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.
Definição
Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto com um elemento e duas operações binárias e que satisfazem as seguintes condições:
- Associatividade de
- Existência de elemento neutro (0) de
- Existência de simétrico de
- Comutatividade de
- Associatividade de
- Distributividade de em relação a (à esquerda e à direita):
Alguns autores incluem ainda o axioma:
- 7. Existência de elemento neutro (1) de
Em particular, temos que é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento cuja existência é garantida pela terceira condição, é único e costuma ser representado por Além disso, se costuma-se representar por
Exemplos
- O conjunto dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto dos números racionais, o conjunto dos números reais, o conjunto dos números complexos e os quatérnios.
- O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma ··· com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
- O menor anel é formado somente por
- Seja um grupo abeliano e seja End() o conjunto dos endomorfismos de Se, dados ∈ End(), se definir a adição de ∈ End() de com por então End() é um anel relativamente às operações adição e composição.
Casos particulares
- Se a multiplicação é comutativa, temos um anel comutativo.
- Se a multiplicação tem elemento neutro, temos um anel com identidade ou anel com unidade.
- Um anel de divisão é um anel em que \ {} é um grupo.
- Se a multiplicação tem elemento neutro e é idempotente, temos um anel booliano. Anéis boolianos e álgebras boolianas tem uma correspondência trivial.
Divisores de zero
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Sejam um anel e um elemento de diferente de Diz-se que é um divisor de zero se existir algum ∈ \ tal que ou que
Exemplos:
- O anel dos números inteiros não tem divisores de zero.
- Seja um número natural maior do que e seja com a adição e o produto assim definidos: se ∈ então é o resto da divisão por da soma dos números inteiros e e é o resto da divisão por do produto dos números inteiros e Então tem divisores de zero quando e só quando for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que então, em
Ideais
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Sejam um anel e um subconjunto não vazio de Diz-se que é um ideal à esquerda de se
Diz-se que é um ideal à direita de se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com
Diz-se que é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.
Caso seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.
Exemplos:
- Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se ∈ Z\{±}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
- Seja o conjunto das funções de R² em R² da forma
onde ∈ R. Então, se for a função nula, se for a adição de funções e se for a composição, então é um anel (não comutativo). Se
então é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.
Se for um anel e for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em a relação de equivalência ∼ assim definida:
- ∼ se e só se ∈
Se ∈ seja a sua classe de equivalência; seja o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir
é novamente um grupo abeliano. Além disso, se for um ideal à esquerda e se ∈ então faz sentido definir a função
Analogamente, se for um ideal à direita e se ∈ então faz sentido definir a função
Caso seja um ideal bilateral, volta a ser um anel se se definir
Ver também
- Teoria dos anéis
- Anel topológico, que combina a estrutura do anel com um espaço topológico, de forma que várias operações sejam contínuas.
- Domínio euclidiano, um tipo de anel onde o algoritmo de Euclides pode ser utilizado.
Referências
- ↑ Fagundes, Pedro L. «Elementos de Álgebra - Aula 02 - Anéis». Youtube/Univesp. 4 de maio de 2018. Consultado em 13 de julho de 2018
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