Em matemática, binómio de Newton(português europeu) ou binômio de Newton(português brasileiro) permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto, deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade, o que Newton estudou foram regras que valem para quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.[1]
Casos particulares do Binômio de Newton são:
Notação e fórmula
O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:
Os coeficientes são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:
onde e são inteiros, e é o fatorial de x.
O coeficiente binomial corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n elementos agrupados k a k.
Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais onde representa o número da linha (posição vertical) e representa o número da coluna (posição horizontal).
A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.
O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:
Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Caiam, pode ter sido o primeiro a descobrir.
Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:
Para resolvermos binômios do tipo (x+y)n é possível utilizar o triângulo de pascal, onde n é a linha reapresentada no triângulo (na imagem indo de 0 à 14). Para iniciar o processo utilizamos o primeiro (x) termo da esquerda para a direita:
(x+y)n= __xn___+__x(n-1)__x(n-2)+ ...+__x(n-n)__
Agora seguindo o mesmo procedimento para o segundo termo (y), porém da direita para a esquerda: