Círculo de Fuhrmann

Círculo de Fuhrmann
Círculo de Fuhrmann com o triângulo de Fuhrmann (vermelho),
ponto de Nagel N {\displaystyle N} e ortocentro H {\displaystyle H}
| A P a | = B P b | = | C P c | = 2 r {\displaystyle |AP_{a}|=BP_{b}|=|CP_{c}|=2r}

Em geometria, o círculo de Fuhrmann de um triângulo, denominado em memória do matemático alemão Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), é o círculo com um diâmetro do segmento de reta entre o ortocentro H {\displaystyle H} e o ponto de Nagel N {\displaystyle N} . Este círculo é idêntico ao circuncírculo do triângulo de Fuhrmann.[1]

O raio de círculo de Fuhrmann de um triângulo com lados a, b e c e circunraio R (raio da circunferência circunscrita) é

R a 3 − a 2 b − a b 2 + b 3 − a 2 c + 3 a b c − b 2 c − a c 2 + c 3 a b c , {\displaystyle R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-ac^{2}+c^{3}}{abc}}},}

que é também a distância entre o circuncentro e o incentro.[2]

Além do ortocentro, o círculo de Fuhrmann cruza cada altitude do triângulo em um ponto adicional. Todos esses pontos têm distância 2 r {\displaystyle 2r} de seus vértices associados do triângulo. Aqui r {\displaystyle r} denota o raio dos triângulos inscritos.[3]

Referências

  1. ↑ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
  2. ↑ Weisstein, Eric W. «Fuhrmann Circle». MathWorld (em inglês) 
  3. ↑ Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, pp. 49-52

Leitura adicional

  • Nguyen Thanh Dung: "The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle". Forum Geometricorum, Volume 16 (2016), pp. 299–311.
  • J. A. Scott: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Volume 86, No. 506 (Jul., 2002), pp. 326–328 (JSTOR)

Ligações externas

  • Fuhrmann circle
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