Conjectura de Fermat-Catalan

A conjectura de Fermat-Catalan é que ${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad }$ tem apenas um número finito de soluções quando ${\displaystyle a,b,c}$ são inteiros coprimos positivos e ${\displaystyle m,n,k}$ são inteiros positivos que satisfazem ${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1}$.^[1]

Existem atualmente apenas 10 soluções conhecidas.^[2]

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}$

${\displaystyle 13^{2}+7^{3}=2^{9}\;}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}$

${\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}$

• Problemas do Prémio Millenium

Referências

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• Portal da matemática