Decomposição LU
Em álgebra linear, a decomposição LU (em que LU vem do inglês lower e upper) é uma forma de fatoração de uma matriz não singular como o produto de uma matriz triangular inferior (lower) e uma matriz triangular superior (upper). Às vezes se deve pré-multiplicar a matriz a ser decomposta por uma matriz de permutação. Esta decomposição se usa em análise numérica para resolver sistemas de equações (mais eficientemente) ou encontrar as matrizes inversas.
Definições
Sendo A uma matriz simples quadrada. Uma fatoração LU refere-se à fatoração de A , com ordenações ou permutações adequadas de linhas e/ou colunas, em dois fatores - uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U :
onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares. Na matriz triangular inferior, todos os elementos acima da diagonal são zero; na matriz triangular superior, todos os elementos abaixo da diagonal são zero.
Para matrizes , sua decomposição LU, é:
Sem uma ordenação adequada ou permutações na matriz, a fatoração pode não se materializar. Por exemplo, é fácil verificar (expandindo a multiplicação da matriz) que . Se , então pelo menos um de e tem que ser zero, o que implica que L ou U são singulares. Isso é impossível se A for não singular (invertível). Este é um problema processual. Ele pode ser removido simplesmente reordenando as linhas de A de modo que o primeiro elemento da matriz permutada seja diferente de zero. O mesmo problema nas etapas de fatoração subsequentes pode ser removido da mesma maneira; veja o procedimento básico abaixo.
Fatoração LU com pivotamento parcial
Acontece que uma permutação apropriada em linhas (ou colunas) é suficiente para a fatoração LU. Fatoração LU com pivotamento parcial (LUP) se refere frequentemente à fatoração LU apenas com permutações de linha:
,
onde L e U são novamente inferior e superior matrizes triangulares, e P é uma matriz de permutação , que, quando deixou-multiplicado a um , reordena as linhas de Uma . Acontece que todas as matrizes quadradas podem ser fatoradas desta forma, e a fatoração é numericamente estável na prática. Isso torna a decomposição do LUP uma técnica útil na prática.
Fatoração LU com pivotamento completo
Uma fatoração LU com pivotamento completo envolve permutações de linha e coluna:
,
onde L , L e P são definidos como anteriormente, e Q é uma matriz de permutação que reordena as colunas de um.
Decomposição diagonal inferior-superior (LDU)
Uma decomposição inferior diagonal superior (LDU) é uma decomposição da forma
,
onde D é uma matriz diagonal e L e U são matrizes unitriangulares , o que significa que todas as entradas nas diagonais de L e U são 1.
Acima exigimos que A seja uma matriz quadrada, mas essas decomposições podem ser generalizadas para matrizes retangulares também. Nesse caso, G e D são matrizes quadradas sendo que ambos têm o mesmo número de filas como um , e L possui exactamente as mesmas dimensões que um . O triangular superior deve ser interpretado como tendo apenas zero entradas abaixo da diagonal principal, que começa no canto superior esquerdo.
Exemplos
Fatoramos a seguinte matriz 2 por 2:
Uma maneira de encontrar a decomposição LU dessa matriz simples seria simplesmente realizar a eliminação de Gauss:
Onde é multiplicador que é dado por:
Logo obtemos a matriz
E a matriz L que é uma matriz triangular superior (ou seja, todas as entradas de sua diagonal principal são 1) e os demais componentes são o valor dos multiplicadores utilizados na eliminação de Gauss
Portanto podemos escrever a matriz A da seguinte forma:
Unicidade
As matrizes L e U são únicas, se a matriz não é singular. Em caso contrário podem não ser únicas.
Demonstração:
Dada a matriz A ∈
e
Recordemos que são invertíveis por terem o determinante diferente de zero.
Então:
Então é uma matriz triangular inferior, com 1s na diagonal e, consequentemente, possui 1s na diagonal e é triangular superior (recordando que o produto matricial de triangulares superiores/inferiores é triangular superior/inferior). A única matriz que cumpre estas duas propriedades é a matriz identidade. Portanto:
e
Com o qual:
- e
Existência e singularidade
Matrizes quadradas
Qualquer matriz quadrada admite fatorações LUP e PLU. Se é invertível[1], então admite uma fatoração LU (ou LDU) se e somente se todos os seu principais menores são diferentes de 0.Se é uma matriz de classificação , então ele admite uma uma fatoração LU se o primeiro os principais menores são diferentes de 0, embora o inverso não seja verdadeiro.[2]
Se uma matriz quadrada e invertível tem uma LDU (fatoração com todas as entradas diagonais de L e U iguais a 1), então a fatoração é única.[3] Nesse caso, a fatoração LU também é única se exigirmos que a diagonal de (ou ) consiste em uns.
Matrizes simétricas positivas-definidas
Se A for uma matriz simétrica (ou matriz hermitiana[4], se A for complexa) positiva definida [5], podemos organizar as coisas de forma que U seja a transposta conjugada de L. Ou seja, podemos escrever A como
Esta decomposição é chamada de Decomposição de Cholesky. A decomposição de Cholesky sempre existe e é única — desde que a matriz seja definida positiva. Além disso, calcular a decomposição de Cholesky é mais eficiente e numericamente mais estável do que calcular algumas outras decomposições LU.
Matrizes gerais
Para uma matriz (não necessariamente invertível) sobre qualquer corpo, as condições exatas necessárias e suficientes sob as quais ela tem uma fatoração LU são conhecidas. Tais condições são expressas em termos da classificação de certas submatrizes. O algoritmo de eliminação gaussiana para obter a decomposição LU também foi estendido para este caso mais geral. [6]
Algoritmos
A decomposição LU é basicamente uma forma modificada da eliminação gaussiana. Transformamos a matriz A em uma triangular superior U anulando os elementos debaixo da diagonal.
Onde são matrizes elementares, que representam os distintos passos da eliminação.
Logo, recordando que a inversa de uma matríz elementar é outra matriz elementar:
Consequentemente, L é uma matriz triangular inferior.
Aplicações
Resolução de sistemas de equações lineares
Dada a equação matricial
Queremos a solução para um determinando A e b. Os passos são os seguintes:
- Primeiro, resolvemos para y
- Segundo, resolvemos para x.
Note-se que já temos as matrizes L e U. A vantagem deste método é a eficiência computacional porque podemos escolher qualquer novo o vetor b que não teremos que voltar a fazer a eliminação de Gauss a cada vez.
Matriz inversa
As matrizes L e U podem ser usadas para calcular a matriz inversa. Algumas implementações que invertem matrizes usam este método.
No caso em que
x e b são tratados como vetores. Ao trocar o vetor x pela matriz X e o vetor b pela matriz B passamos a ter
Agora, supondo que B seja a matriz identidade, teremos então que X será a inversa de A.
Determinante de uma matriz
As matrizes e podem ser usadas para calcular o determinante da matriz muito eficientemente porque e os determinantes de matrizes triangulares são simplesmente o produto dos elementos de suas diagonais. Em particular, se L é uma matriz triangular em cuja diagonal todos os elementos são 1s, então:
A mesma aproximação ao problema pode ser usada para decomposições LUP nas que aparecem matrizes de permutação, pois o determinante de uma matriz de permutação P é (−1)S, onde é o número de permutações de filas na decomposição.
Referências
- ↑ «Invertible matrix». Wikipedia (em inglês). 19 de abril de 2021. Consultado em 6 de maio de 2021
- ↑ Horn & Johnson (1985), Theorem 3.5.2
- ↑ Horn & Johnson (1985), Corollary 3.5.5
- ↑ «Matriz hermitiana». Wikipédia, a enciclopédia livre. 14 de agosto de 2020. Consultado em 6 de maio de 2021
- ↑ «Definite matrix». Wikipedia (em inglês). 4 de maio de 2021. Consultado em 6 de maio de 2021
- ↑ Okunev & Johnson ( 1997)
- Bunch, James R.; Hopcroft, John (1974), "Triangular factorization and inversion by fast matrix multiplication", Mathematics of Computation, 28 (125): 231–236, Doi:10.23072005828 ISSN:0025-5718JSTOR:2005828.
- Thomas_H._Cormen, Charles_E._Leiserson , Ronald_L._Rivest , Clifford_Stein (2001), Introduction_to_Algorithms, MIT Press and McGraw-Hill, ISBN:978-0-262-03293-3.
- Gene_H._Golub; Charles_F._Van_Loan. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins, ISBN:978-0-8018-5414-9.
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN: 978-0-521-38632-6. See Section 3.5. N − 1
- Householder, Alston S. (1975), The Theory of Matrices in Numerical Analysis, New York: Dover_Publications: MR0378371
- Okunev, Pavel; Johnson, Charles R. (1997), Necessary And Sufficient Conditions For Existence of the LU Factorization of an Arbitrary Matrix, ArXiv:math.NA/0506382.
- Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Canada: Thomson Brooks/Cole, ISBN: 978-0-534-99845-5.
- Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 2.3" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN:978-0-521-88068-8
- Nicholas_Trefethen; Bau, David (1997), Numerical linear algebra, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN:978-0-89871-361-9.