A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica.
Mais precisamente falando, seja
um conjunto não vazio de números reais positivos então:
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f1a7233e40d445a398a33330f88d8f9bc9bd08)
onde
, veja somatório.
e
, veja produtório.
Demonstração do caso n=2
Queremos mostrar que:
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt {x_{1}\cdot x_{2}}}\geq {\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a250b8898d716a17590a248e30c8816a4af068)
Como
e
são reais, temos:
![{\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac1c61183068f1002c1205ff99dd671836256eb)
Expandindo, temos:
![{\displaystyle x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc83871ee2fe9e3db5b9f2754acaaba8c02b525d)
Somando
, obtemos:
![{\displaystyle x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 4x_{1}x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f49b48c96084cca08933638f99a60cdb61c262)
Assim:
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{2}\geq 4x_{1}x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c66ff6bf7bab120daba40b89b062372c2531c56)
Assumindo como sendo números positivos, podemos tomar a raiz quadrada e dividir por 2:
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bafe6b7c63dfb4c290b2c1f0036c9183a23ea05)
A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta última como:
![{\displaystyle {\frac {2}{x_{1}+x_{2}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028cc22571f12c4b8552dfc0327c6e4a6464a695)
Multiplique ambos os lados por :
:
![{\displaystyle {\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\leq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecf8df352b244736016b8854ccd927a2cd8e990)
E observe que esta é justamente a desigualdade que procuramos, pois:
![{\displaystyle {\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}={\frac {2}{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}}}={\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7743e4921e7ac33f2d11da491c5c4b8eb379a3d5)
E o resultado segue.
Demonstração no caso
Queremos a igualdade para
, com k inteiro positivo.
Procederemos por indução em k: O caso k=1, já foi demonstrado.
Suponha então que a desigualdade é valida para um certo k positivo, escreva para
:
![{\displaystyle {\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}={\frac {1}{2n}}\left[\sum _{i=1}^{n}x_{i}+\sum _{i=n+1}^{2n}x_{i}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5054d29bbf7cdae869b9cd8d2e46f67e8ab02e80)
Aplique a desigualdade da média com dois elementos:
![{\displaystyle {\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}\geq {\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=n+1}^{2n}x_{i}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dde8b7763618c4f499fd18de32a764853eaf075)
Agora, aplique a desigualdade para n elementos em cada um dos termos:
![{\displaystyle {\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}\geq {\sqrt {{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\cdot {\sqrt[{n}]{\prod _{i=n+1}^{2n}x_{i}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8080e3f7103b4c7a8352dd6a2283f8831e41269e)
E assim, conclua:
![{\displaystyle {\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{2n}x_{i}\geq {\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c839343f8f335bb146e60f73b00249aecb3a5f)
E a primeira desigualdade segue pois
Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda desigualdade:
![{\displaystyle {\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}={\sqrt {{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\cdot {\sqrt[{n}]{\prod _{i=n+1}^{2n}x_{i}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f461860587b53d3d4b48f5f73162d45fb6a282de)
![{\displaystyle {\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}\geq {\frac {2}{{\frac {1}{\sqrt[{n}]{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}+{\frac {1}{\sqrt[{n}]{\displaystyle \prod _{i=n+1}^{2n}x_{i}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c234dd91f782c628be82f159089ffb7e3157158)
![{\displaystyle {\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}\geq {\frac {2n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}+\displaystyle \sum _{i=n+1}^{2n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a420c81d12bc60390fb1855c2515da9f9cd56042)
![{\displaystyle {\sqrt[{2n}]{\prod _{i=1}^{2n}x_{i}}}\geq {\frac {2n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{2n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd6884951a0e2034f01275d43fbf718b9becb14)
E a segunda desigualdade segue.
Demonstração do caso geral
Completaremos a demonstração, mostrando que se a desigualdade for válida para n termos, então também é válida para n-1 termos.
Suponha, então, que a desigualdade é válida para um número inteiro n maior que 1, ou seja:
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f1a7233e40d445a398a33330f88d8f9bc9bd08)
Escreva:
![{\displaystyle p={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc7f54e8673d2e6597fd0ee7905e78530ed1c21)
![{\displaystyle q={\sqrt[{n-1}]{\prod _{i=1}^{n-1}x_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2121e653fe574bc7d1e5f500090fa160ee38b96a)
![{\displaystyle r={\frac {n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c823c5357d13d278fbc15540d67fe47502bac642)
Queremos mostrar que
Substitua
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}+q\right)\geq {\sqrt[{n}]{q\prod _{i=1}^{n-1}x_{i}}}\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)+{\frac {1}{q}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd99fa31e18e8788e972137c02d5af47c3725ec)
Observe que:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{q\prod _{i=1}^{n-1}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{qq^{n-1}}}=q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce542b13177ed176a3dcca5938121355ddd904f)
Assim temos, da primeira desigualdade:
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}+q\right)\geq q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c7dff017311906a0558d3197089b8948ca3870)
Rearranjando, temos:
![{\displaystyle p={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}\geq q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40bcc9f1c457466e5340a654e684c79399a57c0)
A segunda desigualdade diz:
![{\displaystyle q\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)+{\frac {1}{q}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7766e9bbedf534041b21df080a7f3dc0de3e263)
O que equivale a:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)+{\frac {1}{q}}\geq {\frac {n}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94aba4b8e5d734984514b6174a66e65a66975e19)
ou:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)\geq {\frac {n-1}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5aaeac5e86ee1cb4e1ac26d3e48e3fc8bc4ceca)
Equivalente a:
![{\displaystyle q\geq {\frac {n-1}{\sum _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{x_{i}}}\right)}}=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d83d63d25ba991b4a0532cbea4f0e4bcb36ff5)
O que completa a demonstração.
Desigualdade entre as Médias Quadrática e Aritmética
Se, na desigualdade de Cauchy fizermos
, ela assume a forma:
≤![{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+...+{a_{n}}^{2}}}\scriptstyle {\sqrt {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9399c82be91ca048b595be120c5371b8c22c95e5)
- Agora é só dividir os membros da desigualdade acima por
. - Finalmente:
≥![{\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac2e9a02ecf71c30ad065097beb18b95f9bc137)
Ver também