Distribuição de probabilidade condicional
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Teoria das probabilidades |
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Na teoria da probabilidade e estatística, dadas duas variáveis aleatórias e distribuídas conjuntamente, a distribuição de probabilidade condicional de dado é a distribuição de probabilidade de quando é um determinado valor conhecido. Em alguns casos, as probabilidades condicionais podem ser expressas como funções contendo um valor não especificado de como um parâmetro. No caso em que ambos e são variáveis categóricas, uma tabela de probabilidade condicional é normalmente usada para representar a probabilidade condicional. A distribuição condicional contrasta com a distribuição marginal de uma variável aleatória, que é a distribuição sem referência para o valor da outra variável.
Se a distribuição condicional de dado é uma distribuição contínua, então a sua função densidade de probabilidade é conhecida como a função densidade condicional. As propriedades de uma distribuição condicional, tal como o momento, são muitas vezes chamadas por nomes correspondentes, tais como média condicional e variância condicional.
Geralmente, pode-se referir a distribuição condicional de um subconjunto de um conjunto de mais de duas variáveis; esta distribuição condicional é contingente sobre os valores de todas as variáveis restantes, e se mais do que uma variável é incluída no subconjunto então esta distribuição condicional é a distribuição conjunta condicional das variáveis.
Distribuições discretas
Para variáveis aleatórias discretas, a função massa de probabilidade condicional de dada a ocorrência do valor de pode ser escrita de acordo com a sua definição como:
.
Devido à ocorrência de em um denominador, isto é definido apenas para não-nulos (portanto, estritamente positivos) .[1]
A relação com a distribuição de probabilidade de dado é:
.
Distribuições contínuas
Da mesma forma, para variáveis aleatórias contínuas, a função de densidade de probabilidade condicional de dada a ocorrência do valor de pode ser escrita como
- ,
onde dá a densidade conjunta de e , enquanto que dá a densidade marginal de . Também neste caso é necessário que .
A relação com a distribuição de probabilidade de dado é dada por:
- .[2]
O conceito de uma distribuição condicional de uma variável aleatória contínua não é tão intuitivo quanto parece: o paradoxo de Borel mostra que funções densidade de probabilidade condicionais não precisam ser invariantes sob transformações de coordenadas.
Relação com a independência
As variáveis aleatórias , são independentes se e somente se a distribuição condicional de dado é, para todos os valores possíveis de , igual à distribuição não condicional de . Para variáveis aleatórias discretas isto significa que para todos os e . Para variáveis aleatórias contínuas e , tendo uma função de densidade conjunta, isso significa que para todos os e .
Propriedades
Visto como uma função de para um dado , é uma probabilidade e, portanto, a soma de todos os (ou a integral, se é uma densidade de probabilidade condicional) é igual a 1. Visto como uma função de dado é uma função de verossimilhança, de modo que a soma de todos os não precisa ser 1.
Formulação teórica
Seja um espaço de probabilidade, um campo- em , e uma variável aleatória de valor real (mensurável a respeito do campo- de Borel em ). Pode se mostrar que existe uma função tal que é a medida de probabilidade em para cada (isto é, é regular) e (quase certamente) para todo . Para qualquer , a função é chamada de distribuição de probabilidade condicional de dado . Neste caso,
quase certamente.[3]
Relação com a expectativa condicional
Para qualquer evento , definindo a função indicadora:
que é uma variável aleatória. Observe que a expectativa dessa variável aleatória é igual à probabilidade de em si:
- .
Então, a probabilidade condicional dado é uma função de tal forma que é a expectativa condicional da função indicadora para :
Em outras palavras, é uma função -mensurável que satisfaz
- .
A probabilidade condicional é regular se é também uma medida da probabilidade para todo . Uma expectativa de uma variável aleatória em relação a uma probabilidade condicional regular é igual a sua expectativa condicional.
- Para o sigma-álgebra trivial a probabilidade condicional é uma função constante, .
- Para , como descrito acima, .
Veja também
- Probabilidade condicionada
- Probabilidade condicional regular
- Teorema de Bayes
Referências
- ↑ Liberal, Tarciana. Distribuições Condicionais. Curso de Probabilidade II, Aula 11, Departamento de Estatística da UFPB.
- ↑ Wooldridge, Jeffrey M. Introdução À Econometria - Uma Abordagem Moderna (PDF) 4ª ed. [S.l.]: Thomson
- ↑ Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure 3rd ed. New York: John Wiley and Sons
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