Espirógrafo

 Nota: Se procura gênero de poliquetas, veja Spirographis.

Espirógrafo é um produto registrado da Hasbro, Inc., um brinquedo para desenho geométrico. O espirógrafo produz curvas matemáticas conhecidas como hipotroclóides e epitroclóides. O termo tem sido usado para descrever várias aplicações de software que mostram curvas similares.

O espirógrafo foi inventado pelo engenheiro britânico Danys Fisher que exibiu-o em 1965 na Feira Internacional de Brinquedos de Nuremberg (Nuremberg International Toy Fair). Era produzido subsequentemente por sua empresa. Os direitos de distribuição foram adquiridos por Kenner, Inc., que introduziu-o no mercado dos Estados Unidos em 1966.

Um espirógrafo consiste em um conjunto de engrenagens de plástico e outras formas como anéis, triângulos, ou barras retas. Existem vários tamanhos e formas de engrenagens, e todas as extremidades possuem dentes para se encaixar em outras peças. O ajuste das peças por exemplo, engrenagens pequenas dentro de anéis maiores. Mas também podem ser encaixados por fora dos anéis de forma a girarem ou na extremidade interna ou na extremidade externa dos anéis.

Para usá-lo, uma folha de papel é colocada sobre um papelão grosso, e uma das peças de plástico é fixada no papel e no papelão. Uma outra peça de plástico é encaixada de forma que seus dentes se encaixem com a peça fixada. Por exemplo, um anel pode ser fixado no papel e uma pequena engrenagem colocada dentro do anel - o atual número de arranjos possíveis por combinação de diferentes engrenagens é muito grande. A ponta de uma caneta é colocada em um dos buracos movendo a peça. Com a parte que se move, pelo rastro da caneta, é traçada a curva.

A caneta é usada tanto para desenhar quanto para promover a força locomotiva; é requerida alguma prática sobre Espirógrafo para poder operá-lo através das peças fixas e móveis. Mais complicados e formatos incomuns podem ser feitos com o uso de ambas as mãos, uma para desenhar e outra para guiar a peça. É possível mover várias peças em relação a outras (por exemplo, o triângulo em torno do anel, com um círculo "que sobe" do anel sobre o triângulo), mas isto requer concentração ou até assistência de outro artista.

Consider um círculo externo fixo ${\displaystyle C_{o}}$ de raio ${\displaystyle R}$ centrado na origem. Um círculo menor interno ${\displaystyle C_{i}}$ de raio ${\displaystyle r<R}$ está rolando por dentro de ${\displaystyle C_{o}}$ e é continuamente tangente a ele. Será assumido que ${\displaystyle C_{i}}$ nunca derrapa em ${\displaystyle C_{o}}$ (em um Espirógrafo real, dentes em ambos círculos previnem tal derrapagem). Agora assuma que um ponto ${\displaystyle A}$ localizado em algum lugar dentro de ${\displaystyle C_{i}}$ está posicionado a uma distância ${\displaystyle \rho <r}$ do centro de ${\displaystyle C_{i}}$. Esse ponto ${\displaystyle A}$ corresponde ao buraco da caneta no disco interno de um Espirógrafo real. Sem perda de generalidade, pode-se supor que no momento inicial o ponto ${\displaystyle A}$ estava no eixo ${\displaystyle X}$. Para achar a trajetória criada por um Espirógrafo, siga o ponto ${\displaystyle A}$ assim que o círculo interno for posto em movimento.

Agora marque dois pontos ${\displaystyle T}$ em ${\displaystyle C_{o}}$ e ${\displaystyle B}$ em ${\displaystyle C_{i}}$. O ponto ${\displaystyle T}$ sempre indica onde os dois círculos são tangentes. Ponto ${\displaystyle B}$ entretanto vai mover-se em ${\displaystyle C_{i}}$ e a sua localização inicial coincide com ${\displaystyle T}$. Após pôr ${\displaystyle C_{i}}$ em movimento anti-horário em volta de ${\displaystyle C_{o}}$, ${\displaystyle C_{i}}$ tem uma rotação em sentido horário em relação ao seu centro. A distância que o ponto ${\displaystyle B}$ atravessa ${\displaystyle C_{i}}$ é a mesma que é atravessada pelo ponto tangente ${\displaystyle T}$ em ${\displaystyle C_{o}}$, devido à falta de derrapagem.

Agora defina o novo sistema de coordenadas (relativas) ${\displaystyle (X',Y')}$ com a sua origem no centro de ${\displaystyle C_{i}}$ e seus eixos paralelos a ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$. Admita o parâmetro ${\displaystyle t}$ como o ângulo em que o ponto tangente ${\displaystyle T}$ gira em ${\displaystyle C_{o}}$ e ${\displaystyle t'}$ seja o ângulo no qual ${\displaystyle C_{i}}$ gira (i.e. no qual ${\displaystyle B}$ percorre) no sistema relativo de coordenadas. Como não há derrapagem, as distâncias percorridas por ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle T}$ em seus respectivos círculos devem ser as mesmas, portanto ${\displaystyle tR=(t-t')r}$

ou equivalentemente

${\displaystyle t'=-{\frac {R-r}{r}}t.}$

É comum assumir que um movimento anti-horário corresponde a uma mudança positiva do ângulo e um horário a uma mudança negativa. Um sinal negativo na fórmula acima (${\displaystyle t'<0}$) acomoda essa convenção.

Admita ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$ serem as coordenadas do centro de ${\displaystyle C_{i}}$ no sistema de coordenadas absoluto. Então ${\displaystyle R-r}$ representa o raio da trajetória do centro de ${\displaystyle C_{i}}$, que (novamente no sistema de coordenadas absolutas) passa por movimento circular de:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x_{c}&=&(R-r)\cos t,\\y_{c}&=&(R-r)\sin t.\end{array}}}$

Como definido acima, ${\displaystyle t'}$ é o ângulo de rotação no novo sistema relativo. Como o pontu ${\displaystyle A}$ obedece a lei usual de movimento circular, suas coordenadas no novo sistema de coordenadas relativas ${\displaystyle (x',y')}$ obedece:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x'&=&\rho \cos t',\\y'&=&\rho \sin t'.\end{array}}}$

A fim de obter a trajetória de ${\displaystyle A}$ no (velho) sistema de coordenadas relativas, adicione esses dois movimentos:

${\displaystyle {\begin{array}{rcrcl}x&=&x_{c}+x'&=&(R-r)\cos t+\rho \cos t',\\y&=&y_{c}+y'&=&(R-r)\sin t+\rho \sin t',\\\end{array}}}$

onde ${\displaystyle \rho }$ é definido acima.

Agora, use a relação entre ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle t'}$ como derivado acima para obter equações descrevendo a trajetória do ponto ${\displaystyle A}$ em termos de um único parâmetro ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rcrcl}x&=&x_{c}+x'&=&(R-r)\cos t+\rho \cos {\frac {R-r}{r}}t,\\[4pt]y&=&y_{c}+y'&=&(R-r)\sin t-\rho \sin {\frac {R-r}{r}}t.\\\end{array}}}$

(usando o fato que a função ${\displaystyle \sin }$ é ímpar).

É conveniente representar a equação acima em termos do raio ${\displaystyle R}$ de ${\displaystyle C_{o}}$ e parâmetros adimensionais descrevendo a estrutura do Espirógrafo. Vamos admitir

${\displaystyle l={\frac {\rho }{r}}}$

e

${\displaystyle k={\frac {r}{R}}.}$

O parâmetro ${\displaystyle 0\leq l\leq 1}$ representa o quão longe o ponto ${\displaystyle A}$ está localizado do centro de ${\displaystyle C_{i}}$. Ao mesmo tempo, ${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$ representa quão grande o círculo interno ${\displaystyle C_{i}}$ é em relação ao externo ${\displaystyle C_{o}}$.

Observa-se agora que

${\displaystyle {\frac {\rho }{R}}=lk,}$

e portanto as equações de trajetória ficam com a forma de

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x(t)&=&R\left[(1-k)\cos t+lk\cos {\frac {1-k}{k}}t\right],\\[4pt]y(t)&=&R\left[(1-k)\sin t-lk\sin {\frac {1-k}{k}}t\right].\\\end{array}}}$

Parâmetro ${\displaystyle R}$ é um parâmetro de escala e não afeta a estrutura do Espirógrafo. Diferentes valores de ${\displaystyle R}$ iriam produzir semelhantes desenhos de Espirógrafo.

Os dois casos extremos ${\displaystyle k=0}$ e ${\displaystyle k=1}$ resultam em trajetórias degeneradas do Espirógrafo. No primeiro caso extremo, quando ${\displaystyle k=0}$, temos um círculo simples de raio ${\displaystyle R}$, correspondente ao caso onde ${\displaystyle C_{i}}$ foi contraído a um ponto. (Divisão por ${\displaystyle k=0}$ na fórmula não é um problema uma vez que ${\displaystyle \sin }$ e ${\displaystyle \cos }$ são funções limitadas).

O outro caso extremo ${\displaystyle k=1}$ corresponde ao raio ${\displaystyle r}$ do círculo interno ${\displaystyle C_{i}}$ coincidindo com o raio ${\displaystyle R}$ do círculo externo ${\displaystyle C_{o}}$, i.e. ${\displaystyle r=R}$. Neste caso a trajetória é um simples ponto. Intuitivamente, ${\displaystyle C_{i}}$ é muito grande para rolar dentro do círculo de mesmo tamanho ${\displaystyle C_{o}}$ sem derrapar.

Se ${\displaystyle l=1}$, então o ponto ${\displaystyle A}$ está na circunferência de ${\displaystyle C_{i}}$. Nesse caso as trajetórias são chamadas de hipocicloides e as equções acima reduzidas àquelas para um hipocicloide.

A empresa Estrela lançou um produto similar com o nome de "Espirograf".^[1]

• Epicicloide

Referências

• Knight, John I. (6 September 2018). "Mechanics Magazine". Knight; Lacey.
• Goldstein, Cathérine; Gray, Jeremy; Ritter, Jim (1996). L'Europe mathématique: histoires, mythes, identités. Editions MSH. p. 293.

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Espirógrafo

• «Spirograph in Java» 
• Weisstein, Eric W. «Spirograph». MathWorld (em inglês) 
• «Spirograph Toy Collection»  - Collection with photos of many versions including UK and Australian issues.
• «Software Spirograph»  in Javascript und AFLAX/Flash
• «Spirograph source files in C#» 
• https://collection.sciencemuseum.org.uk/objects/co60094/spirograph-and-examples-of-patterns-drawn-using-it-spirograph
• Kaveney, Wendy. "CONTENTdm Collection : Compound Object Viewer". http://digitallibrary.imcpl.org.
• Linderman, Jim. "ArtSlant - Spirograph? No, MAGIC PATTERN!". http://artslant.com.
• "From The Boy Mechanic (1913) - A Wondergraph". http://marcdatabase.com.

• Portal dos brinquedos