Função de partição (matemática)
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Em teoria dos números, a partição de um inteiro positivo n é uma forma de decomposição de n como soma de inteiros positivos. Duas somas são consideradas iguais somente se possuírem o mesmo número de parcelas e as mesmas parcelas, mesmo que em ordem diferente.
Rigorosamente, uma partição de um inteiro positivo n é uma sequência de inteiros positivos , tais que:
- .[1]
As possíveis partições de um inteiro n podem ser melhor visualizadas com o uso dos chamados diagramas de Ferrers ou diagramas de Young.
Exemplos
As cinco partições de 4 são:
- 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1
E as 11 partições de 6 são:
- 6 = 5 + 1 = 4 +2 = 4 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + 2 + 1 =
- = 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1
Função de partição
A função de partição p(n) representa o número p de possíveis partições de um número inteiro positivo n; assim, p(4) = 5 e p(6) = 11. Por conveniência, define-se p(0) = 1, (0 só se escreve apenas como ele mesmo uma única vez, semelhante a 1) p(n) = 0 para valores de n negativos. Os valores dessa função para são:
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, ... (sequência A000041 na OEIS).
Os valores de p(n) possuem um crescimento muito elevado em relação ao valor de n:
- p(100) = 190 569 292
- p(200) = 3 972 999 029 388
- p(1000) = 24 061 467 864 032 622 473 692 149 727 991 ≈ 2,4 × 1031
Uma expressão assintótica de p(n) foi obtida por Godfrey Harold Hardy e S. Ramanujan em 1918, de forma independente por James Victor Uspensky em 1920:
Ken Ono[2] encontrou em 2010 uma fórmula exata.
Ver também
- Diagrama de Young
Referências
Ligações externas
- Weisstein, Eric W. «Partition». MathWorld (em inglês). Consultado em 13 de junho de 2012
- Weisstein, Eric W. «Partition Function P». MathWorld (em inglês). Consultado em 13 de junho de 2012
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