Integração numérica
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Em matemática, em especial na análise numérica, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é aproximar o valor de uma dada integral definida de uma função sem o uso de uma expressão analítica para a sua primitiva.[1]
Normalmente, estes métodos adotam as seguintes três fases:[2]
- Decomposição do domínio em pedaços (um intervalo contido de sub-intervalos);
- Integração aproximada da função de cada pedaço;
- Soma dos resultados numéricos obtidos.
A necessidade de se usar a integração numérica surge de razões como:[2][3]
- nem todas as funções admitem uma primitiva de forma explícita (por exemplo, a função erro);
- a primitiva da função é muito complicada para ser avaliada;
- quando não se dipões de uma expressão analítica para o integrando, mas se conhece seus valores em um conjunto de pontos do domínio.
O método básico envolvido nesta aproximação é chamado de quadratura numérica e consiste na seguinte expressão:
onde são coeficientes reais (chamados de pesos da quadratura) e são pontos de (chamados de pontos da quadratura) .[2]
Razões para integração numérica
Existem várias razões para realizar a integração numérica, em oposição à integração analítica por encontrar a antiderivada:
1 - O integrando f (x) pode ser conhecido apenas em certos pontos, como obtido por amostragem. Alguns sistemas embarcados e outros aplicativos de computador podem precisar de integração numérica por esse motivo;
2 - Uma fórmula para o integrando pode ser conhecida, mas pode ser difícil ou impossível encontrar uma antiderivada que seja uma função elementar . Um exemplo de tal integrando é f ( x ) = exp (- x 2 ), a antiderivada do qual (a função de erro , vezes uma constante) não pode ser escrita na forma elementar;
3 - Pode ser possível encontrar uma antiderivada simbolicamente, mas pode ser mais fácil calcular uma aproximação numérica do que calcular a antiderivada. Esse pode ser o caso se a antiderivada for dada como uma série ou produto infinito, ou se sua avaliação exigir uma função especial que não está disponível.
História
Artigo principal: Quadrature (Mathematics)
Quadratura é um termo matemático histórico que significa calcular área. Os problemas de quadratura têm servido como uma das principais fontes de análise matemática. De acordo com a doutrina pitagórica, matemáticos da Grécia Antiga, entendiam o cálculo da área como o processo de construção geometricamente de um quadrado com a mesma área (quadratura). É por isso que o processo foi nomeado como quadratura. Por exemplo, uma quadratura do círculo, Lune de Hipócrates, A Quadratura da Parábola. Esta construção deve ser realizada apenas por meio de bússola e reto.
Os antigos babilônios usaram a regra trapezoidal para integrar o movimento de Júpiter ao longo da eclíptica.
Para uma quadratura de um retângulo com os lados a e b é necessário construir um quadrado com o lado (a média geométrica de a e b). Para isso, é possível utilizar o seguinte fato: se desenharmos o círculo com a soma de a e b como diâmetro, então a altura BH (de um ponto de sua conexão com a travessia com um círculo) é igual à sua média geométrica. A construção geométrica semelhante resolve um problema de uma quadratura para um paralelograma e um triângulo.
Problemas de quadratura para figuras curvilíneas são muito mais difíceis. A quadratura do círculo com bússola e reta tinha sido provada no século XIX como impossível. No entanto, para algumas figuras (por exemplo, a Lune de Hipócrates) uma quadratura pode ser realizada. As quadraturas de uma superfície de esfera e um segmento de parábola feito por Arquimedes tornaram-se a maior conquista da análise antiga.
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- A área da superfície de uma esfera é igual a quadruplicar a área de um grande círculo desta esfera.
- A área de um segmento da parábola cortada por uma linha reta é 4/3 a área do triângulo inscrito neste segmento.
Para a comprovação dos resultados, Arquimedes utilizou o Método de exaustão de Eudoxo.
Na Europa medieval, a quadratura significava cálculo de área por qualquer método. Mais frequentemente, utilizou-se o Método de indivisíveis; era menos rigoroso, mas mais simples e poderoso. Com sua ajuda Galileu Galilei e Gilles de Roberval encontraram a área de um arco cicloide, Grégoire de Saint-Vincent investigou a área sob uma hipérbole (Opus Geometricum, 1647), e Alphonse Antonio de Sarasa, aluno e comentarista de Saint-Vincent, observou a relação desta área com logaritmos.
John Wallis algebrised este método: ele escreveu em sua série Arithmetica Infinitorum (1656), que agora chamamos de integral definitiva, e calculou seus valores. Isaac Barrow e James Gregory fizeram mais progressos: quadraturas para algumas curvas algébrias e espirais. Christiaan Huygens realizou com sucesso uma quadratura de alguns Sólidos da revolução.
A quadratura da hipérbole de São Vicente e de Sarasa proporcionou uma nova função, o logaritmo natural,de importância crítica.
Com a invenção do cálculo integral veio um método universal para o cálculo da área. Em resposta, o termo quadratura tornou-se tradicional, e em vez disso, a frase moderna "computação de uma integral univariada definitiva" é mais comum.[4]
Ordem de aproximação
Um esquema de integração numérica é dito ter ordem de aproximação N se for exato para cada polinômio de grau menor ou igual a N.[3]
Exemplos
Regras de Newton-Cotes
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![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Int%C3%A9gration_num_trap%C3%A8zes.svg/220px-Int%C3%A9gration_num_trap%C3%A8zes.svg.png)
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As regras abaixo são conhecidas como Fórmulas de Newton-Cotes, há dois tipos delas as abertas e as fechadas. A regra do ponto médio é uma fórmula de Newton-Cotes aberta. A regra trapezoidal e de Simpson são exemplos de uma categoria de métodos conhecida como fórmulas de Newton-Cotes fechada. A fórmula de Newton-Cotes é chamada fechada quando o conjunto de seus pontos incluem os extremos do intervalo de integração.[1][2]
- Regra do Ponto Médio ou dos retângulos:
- Regra Trapezoidal:
- Regra de Simpson:
Integral | Valor exato | Regra dos retângulos | Regra trapezoidal | Regra de Simpson |
---|---|---|---|---|
Erro de aproximação
Pode-se mostrar que o erro assumido ao aproximar a integral de uma função suficientemente diferenciável pelo método do ponto médio é de ; método trapezoidal é , onde é um ponto do intervalo de integração e é o comprimento deste intervalo. Um resultado análogo indica que o erro do método de Simpson é .
Observação: Na medida em que o termo do erro para a regra do ponto médio e do trapezoidal envolve , estas regras fornecem resultados exatos quando aplicadas a qualquer função cuja derivada de 2ª ordem é igual a zero. Em particular, é exata para qualquer polinômio de grau menor ou igual a 2. Já o erro do método de Simpson envolve a derivada ordem, a regra de Simpson tem ordem de aproximação 3.
Métodos compostos
Os chamados métodos compostos consistem em dividir o intervalo de integração em diversos subintervalos e aplicar um método de quadratura em cada um dos intervalos:
onde , e . O princípio básico destes métodos é o fato de o erro decrescer rapidamente com o comprimento do intervalo.[1]
Exemplos
Os seguintes exemplos foram construídos subdividindo o intervalo de integração em subintervalos de comprimento constante e sob a notação , e .
- Regra trapezoidal composta:
- Regra de Simpson composta:
aqui n deve ser um número ímpar.[1]
Outros métodos de quadratura numérica
- Método de Romberg
- Quadratura Gauss-Tchebycheff
- Quadratura Gauss-Legendre
Método do Cálculo multi-dimensional integrante
Método de Cálculo determinante forma integral
- Método de Laplace para integrais do tipo ;
- Método de ponto-neck para integrais do tipo .
Ver também
- Integração de Monte Carlo
- Diferenciação numérica
- Método dos elementos finitos
- Métodos das diferenças finitas
Referências
- ↑ a b c d Sperandio, Mendes e Monken (2003). Calculo Numérico. características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. [S.l.]: Pearson
- ↑ a b c d Burden e Richard L. (2003). Análise Numérica. [S.l.]: Thomson !CS1 manut: Usa parâmetro autores (link)
- ↑ a b Ruggiero, Lopes. Calculo Numérico. Aspectos teóricos e computação. único 2 ed. [S.l.]: Pearson
- ↑ «Numerical integration». Wikipedia (em inglês). 17 de março de 2021. Consultado em 21 de abril de 2021
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- numérique d'une intrégale
- https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration#Reasons_for_numerical_integration