Integrabilidade à Riemann

A integral de Riemann aplica-se apenas a funções ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ que sejam limitadas. Apesar desta limitação, trata-se de uma integral bastante importante e muito sugestiva na sua formulação pela ligação ao conceito de área de regiões do plano limitadas por gráficos de funções reais de variável real. Sendo uma integral aplicável a uma classe vasta de funções, é conhecido o habitual exemplo da função de Dirichlet como caso de função não integrável à Riemann. Procuraremos aqui detalhar um pouco as qualidades que uma função limitada deve ter para ser integrável à Riemann.

É também conhecido que o integral de Riemann possui várias formulações. Iremos aqui, com brevidade, seguir a formulação de Darboux, segundo a qual a integral de Riemann é resultante das integrais inferior e superior. Estas integrais são formuladas com base nas chamadas somas de Darboux (inferior e superior) constituídas por sua vez a partir de uma dada partição ${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}}$ de ${\displaystyle [a,b]}$. Por ${\displaystyle {\mathcal {P}}([a,b])}$ designaremos o conjunto de todas as partições do intervalo ${\displaystyle [a,b]}$. O valor ${\displaystyle |P|=max\{x_{i}-x_{i-1}:i=1,...,n\}}$ é designado por diâmetro da partição.

A soma inferior é definida por

${\displaystyle s_{f}(P)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$, onde ${\displaystyle m_{i}=\inf\{f(x):x\in [x_{i-1},x_{i}]\}}$

e a soma superior por

${\displaystyle S_{f}(P)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$, onde ${\displaystyle M_{i}=\sup\{f(x):x\in [x_{i-1},x_{i}]\}}$.

A integral inferior de ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle [a,b]}$ é então dada por

${\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x=\sup\{s_{f}(P):P\in {\mathcal {P([a,b])}}\}}$,

e a integral superior de ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle [a,b]}$ como

${\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x=\inf \ \{S_{f}(Q):Q\in {\mathcal {P}}([a,b])\}}$

Tem-se que

${\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq {\overline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x}$

e ${\displaystyle f}$ diz.se integrável à Riemann em ${\displaystyle [a,b]}$ se

• ${\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x={\overline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Em tal situação escreve-se

${\displaystyle {\int }_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x={\underline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x={\overline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x.}$