Lagrangiana de Euler-Heisenberg

Na física, a lagrangiana de Euler-Heisenberg descreve a dinâmica não linear de campos eletromagnéticos no vácuo. Foi obtido por Werner Heisenberg e Hans Heinrich Euler em 1936. Ao tratar o vácuo como um meio, a lagrangiana prevê taxas de processos de interação de luz via eletrodinâmica quântica.[1]

Equação

A lagrangiana de Euler-Heisenberg leva em conta polarização do vácuo para um loop, e é válida para campos eletromagnéticos que mudam lentamente em comparação com o inverso da massa do elétron:[2]

L = − F − 1 8 π 2 ∫ 0 ∞ exp ⁡ ( − m 2 s ) [ ( e s ) 2 Re ⁡ cosh ⁡ ( e s 2 ( F + i G ) ) Im ⁡ cosh ⁡ ( e s 2 ( F + i G ) ) G − 2 3 ( e s ) 2 F − 1 ] d s s 3 {\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathcal {F}}-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-m^{2}s\right)\left[(es)^{2}{\frac {\operatorname {Re} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}{\operatorname {Im} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}}{\mathcal {G}}-{\frac {2}{3}}(es)^{2}{\mathcal {F}}-1\right]{\frac {ds}{s^{3}}}}

Aqui m {\displaystyle m} é a massa do elétron, e {\displaystyle e} a carga do elétron, F = 1 2 ( B 2 − E 2 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {B} ^{2}-\mathbf {E} ^{2}\right)} e G = E ⋅ B {\displaystyle {\mathcal {G}}=\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} } .

No limite de campo fraco, isso se torna:

L = 1 2 ( E 2 − B 2 ) + 2 α 2 45 m 4 [ ( E 2 − B 2 ) 2 + 7 ( E ⋅ B ) 2 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {2\alpha ^{2}}{45m^{4}}}\left[\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)^{2}+7\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}\right]}

Ela descreve espalhamento entre dois fótons na eletrodinâmica quântica.[3] Robert Karplus e Maurice Neuman calcularam a amplitude total, que é muito pequena.[4]

Referências

  1. ↑ Euler-Heisenberg Lagrangi por Meissner (2012)
  2. ↑ D. B. Kaplan, “Effective field theories,” arXiv:nucl-th/9506035
  3. ↑ Gamma-gamma physics and transition form factor measurements at KLOE/KLOE-2 por Paolo Gauzzi arXiv:1511.09253 [hep-ex] (2015)
  4. ↑ R. Karplus and M. Neuman, “The Scattering of Light by Light”, Phys. Rev. 83, 776 (1951).
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