Lei zero-um de Kolmogorov

Em teoria da probabilidade, a lei zero-um de Kolmogorov, nomeada em homenagem a Andrei Kolmogorov, especifica que um certo tipo de evento, chamado de evento de cauda, quase certamente acontecerá ou quase certamente não acontecerá, isto é, a probabilidade de que este evento aconteça é ${\displaystyle 0}$ ou ${\displaystyle 1}$.^[1]

Eventos de cauda são definidos em termos de sequências infinitas de variáveis aleatórias. Suponha que

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots \,}$

seja uma sequência infinita de variáveis aleatórias independentes (não necessariamente distribuídas identicamente). Considere ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ a σ-álgebra gerada por ${\displaystyle X_{i}}$. Então, o evento de cauda ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ é um evento probabilisticamente independente de cada subconjunto finito destas variáveis aleatórias. Note que a pertinência de ${\displaystyle F}$ a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ implica que a pertinência a ${\displaystyle F}$ é unicamente determinada pelos valores de ${\displaystyle X_{i}}$, mas que a última condição é estritamente mais fraca e insuficiente para provar a lei zero-um. Por exemplo, o evento para o qual a sequência converge e o evento para o qual sua soma converge são ambos eventos de cauda. Em um sequência infinita de cara ou coroa, uma sequência de 100 caras consecutivas ocorrendo infinitamente muitas vezes é um evento de cauda.^[2]

Em muitas situações, pode ser fácil aplicar a lei zero-um de Kolmogorov para mostrar que um evento tem probabilidade ${\displaystyle 0}$ ou ${\displaystyle 1}$, mas surpreendentemente difícil determinar qual destes dois valores extremos é o correto.

Uma afirmação mais generalizada da lei zero-um de Kolmogorov se aplica a sequências de σ-álgebras independentes. Considere ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ um espaço de probabilidade e ${\displaystyle F_{n}}$ uma sequência de sigmas-álgebras mutuamente independentes contida em ${\displaystyle F}$. Considere

${\displaystyle G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}}$

a menor σ-álgebra contendo ${\displaystyle F_{n}}$, ${\displaystyle F}$_n+1, …. Então, a lei zero-um de Kolmogorov afirma que para qualquer evento

${\displaystyle F\in \bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}$

haverá ${\displaystyle P(F)=0}$ ou ${\displaystyle 1}$.^[3]

A afirmação da lei em termos de variáveis aleatórias é obtida a partir da última ao considerar cada ${\displaystyle F_{n}}$ a σ-álgebra gerada pela variável aleatória ${\displaystyle X_{n}}$. Então, um evento de cauda é, por definição, um evento mensurável no que diz respeito às σ-álgebras gerada por todos os ${\displaystyle X_{n}}$, mas independente de qualquer número finito de ${\displaystyle X_{n}}$. Isto é, um evento de cauda é precisamente um elemento da intersecção ${\displaystyle \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}}$.

Uma transformação inversível que preserve a medida em um espaço de probabilidade padrão (também chamado de espaço de probabilidade de Lebesgue-Rokhlin) e que obedeça a lei zero-um é chamada de automorfismo de Kolmogorov. Todos os automorfismos de Bernoulli são automorfismos de Kolmogorov, mas nem todo automorfismo de Kolmogorov é um automorfismo de Bernoulli.

• Lema de Borel-Cantelli
• Cauda longa

• O legado de Andrei Nikolaevich Kolmogorov (em inglês e russo) Currículo, biografia, alunos, descendentes, trabalhos, livros, publicações, artigos, fotografias e retratos de Andrei Kolmogorov.