O matemático e astrônomo francês Pierre Fatou (1878-1929). Em matemática o lema de Fatou é um importante resultado da teoria da medida. Normalmente é demonstrado partindo do teorema da convergência monótona e é aplicado para demonstrar o teorema da convergência dominada.
Enunciado
Seja
uma seqüência de funções mensuráveis não negativas, então:
![{\displaystyle \int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0789b68d3a3976c09694147ff99d5fdc2e56887)
Demonstração
Defina
e
.
formam uma seqüência não-decrescente de funções não-negativas e, portanto, pelo teorema da convergência monótona, temos:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}g_{n}(x)dx=\int _{E}f(x)dx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56838aa034a8657c7ad905ab634dd30c2ab9ae85)
Da definição de
, temos ainda:
![{\displaystyle \int _{E}g_{n}(x)dx\leq \int _{E}f_{i}(x)dx,~~\forall ~n\leq i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefc58c93fffc6408bab4df577c37edd71cc9b5c)
Tomando o ínfimo em
, vale:
![{\displaystyle \int _{E}g_{n}(x)dx\leq \inf _{i\geq n}\int _{E}f_{i}(x)dx,~~\forall ~n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8bf3a3263219f5d1eaef6574e37ff8b6c670f62)
Passando ao limite em
, segue:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}g_{n}(x)dx\leq \liminf _{i\to \infty }\int _{E}f_{i}(x)dx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4c97657be00fcea9f9284cbb30eb7013bcda6b)
Como
, temos o resultado:
![{\displaystyle \int _{E}\liminf _{i\to \infty }f_{i}(x)dx\leq \liminf _{i\to \infty }\int _{E}f_{i}(x)dx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c28291259659adabebed538dff5d4f626a848b)
Corolário
Seja
uma seqüência de funções mensuráveis não negativas convergindo quase-sempre para uma função
, tal que:
![{\displaystyle \int _{E}f_{n}\leq K\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af13fcc20572c957ae976c2544bd0c0e88f4613e)
então:
![{\displaystyle \int _{E}f\leq K\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f05a535c728b5a304907ae1309bcac8c10edb24)
Ver também
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