Logaritmo complexo
Na análise complexa, um logaritmo complexo é uma função inversa da função exponencial complexa, assim como o logaritmo natural real ln x é o inverso da função exponencial real ex. Assim, um logaritmo de um número complexo z é um número complexo w tal que ew = z.[1] A notação para tal w é ln z ou z. Como todo número complexo diferente de zero z possui infinitamente muitos logaritmos[1] é necessário cuidado para dar a essa notação um significado inequívoco.
Se z =reiθ com r> 0 (uma forma polar), então w = ln r + iθ é um logaritmo de z; acrescentando múltiplos inteiros de 2πi dá todos os outros.[1][2][3]
Relação no campo de números complexos
Para números reais, temos a seguinte relação:
Esse relacionamento pode ser usado para estender o logaritmo para o campo complexo:
com a única condição . Este último relatório permite obter uma expressão explícita para . Escrevendo a forma exponencial[4] de
- ,
segue que
onde é e representa, respectivamente, a parte real e imaginária do desconhecido . Da cadeia de igualdades anterior, seguimos os seguintes relacionamentos que determinam e :
Podemos então escrever
Note que o logaritmo complexo assume valores infinitos, dado que contém todos os números do tipo , com
Por esta razão, não é realmente uma função, mas uma função chamada polidroma.
Referências
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