Método delta

Em Inferência estatística, o Método Delta é uma técnica utilizada para aproximar um vetor aleatório através de uma expansão de Taylor. é um método simples, mas útil, para deduzir a distribuição assintótica de variáveis.^[1]

O Teorema do Limite Central pode ser considerado como um caso particular do Método Delta. Assim deve começar por familiarizar-se com este teorema.

O teorema do limite central afirma que a soma de um número suficientemente elevado de variáveis aleatórias identicamente distribuídas tem uma distribuição semelhante a uma distribuição Normal.

Verificadas certas condições, o Método Delta permite concluir que uma função (não apenas a soma) de um número suficientemente elevado de variáveis aleatórias também tem uma distribuição semelhante a uma distribuição Normal.

Ver artigo principal: variável aleatória

Ver artigo principal: Convergência de variáveis aleatórias

Ver artigo principal: Teorema de Mann-Wald

• Seja uma função contínua ${\displaystyle g:D\subset {\mathbb {R} ^{k}}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ definida num subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ chamado "D" e diferenciável no ponto ${\displaystyle \mu }$.
• Sejam Y_n vetores aleatórios que assumem valores no domínio da função g, tal que ${\displaystyle E\left[Y_{n}\right]=\mu }$
• Seja Y um vetor aleatório (no caso particular de esse vetor aleatório ter dimensão 1X1, teremos uma variável aleatória, mas aqui vamos apresentar o enunciado geral).
• Lembre-se que ${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$ designa uma convergência em distribuição.
• Suponha que ${\displaystyle r_{n}\left[Y_{n}-\mu \right]{\xrightarrow {d}}Y}$ quando ${\displaystyle r_{n}\rightarrow \infty }$.

Então^[1] ,

${\displaystyle r_{n}\left[g\left(Y_{n}\right)-g\left(\mu \right)\right]{\xrightarrow {d}}g'\left(\mu \right)Y}$

Seja ${\displaystyle Y_{n}}$ uma sucessão de variáveis aleatórias tais que

${\displaystyle {{\sqrt {n}}[Y_{n}-\mu ]\,{\xrightarrow {d}}\,N(0,\sigma ^{2})},}$.

onde ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ é a variância da distribuição Normal e ${\displaystyle \mu }$ é o valor esperado de ${\displaystyle Y_{n}}$. Estes valores têm de existir e serem finitos.

Considere também uma função "g" diferenciável em ${\displaystyle \mu }$.

• Método Delta de 1ª ordem: Considere o caso em que, para o valor especifico ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle g'(\mu )\neq 0}$.Então:

${\displaystyle {{\sqrt {n}}[g(Y_{n})-g(\mu )]\,{\xrightarrow {d}}\,N(0,\sigma ^{2}[g'(\mu )]^{2})}}$^[2][3]

• Método delta de 2ª ordem: Considere agora o caso em que, para o valor especifico ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle g'\left(\mu \right)=0}$ mas que ${\displaystyle g''\left(\mu \right)\neq 0}$. Então,

${\displaystyle {\sqrt {n}}\left[g(Y_{n})-g(\mu )\right]{\xrightarrow {d}}\sigma ^{2}{\frac {g''\left(\mu \right)}{2}}\chi _{1}^{2}}$,^[4] porque o quadrado de uma distribuição normal padrão é uma qui-quadrado ${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$^[3] .

• Método Delta de ordens superiores: Considere finalmente o caso em que a função g é "r" vezes derivável e que, para o valor especifico ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle g'\left(\mu \right)=g''\left(\mu \right)=...=g^{(r-1)}\left(\mu \right)=0}$ mas que a r-ésima derivada ${\displaystyle g^{(r)}\left(\mu \right)\neq 0}$. Então,

${\displaystyle \left({\sqrt {n}}\right)^{r}\left[g(Y_{n})-g(\mu )\right]{\xrightarrow {d}}\sigma ^{2}{\frac {g^{(r)}\left(\mu \right)}{r!}}Y^{r}}$^[5]

Do Teorema do Limite Central sabemos que ${\displaystyle {\sqrt {(}}n)[{\overline {X}}_{n}-\mu ]{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2})}$.

Consideremos agora ${\displaystyle g(x)=1/x}$, sabemos que ${\displaystyle g'(x)=-1/x^{2}}$ que para ${\displaystyle \forall x\in }$ IR\{0} é diferente de 0.

Então estamos nas condições do Método Delta e podemos afirmar que ${\displaystyle {\sqrt {(}}n)[g({\overline {X}}_{n})-g(\mu )]{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\mu )]^{2})={\sqrt {(}}n)[1/{\overline {X}}_{n}-1/\mu ]{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2}/\mu ^{4})}$.^[6]

Nota:

${\displaystyle g'(x)=(1/x)'=-1/x^{2}}$

${\displaystyle [g'(x)]^{2}=[-1/x^{2}]^{2}=1/x^{4}}$

${\displaystyle [g'(\mu )]^{2}=1/\mu ^{4}}$

Ver artigo principal: distribuição de Bernoulli

Suponha ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},...,Y_{n}}$ variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli (p). O parâmetro de interesse típico é ${\displaystyle p=E\left[Y\right]}$, a probabilidade de sucesso, mas outro parâmetro popular é ${\displaystyle {\left(p\right)/\left(1-p\right)}}$, que mede a chance. Por exemplo, se os dados representam os resultados de uma moeda viciada com p=2/3 para "cara", então a moeda tem chance 2:1 de mostrar o resultado "cara".

Vamos considerar a utilização de ${\displaystyle {\left({\hat {p}}\right)/\left(1-{\hat {p}}\right)}}$ como uma estimativa para ${\displaystyle {\left(p\right)/\left(1-p\right)}}$. Ou seja, vamos jogar a moeda "n" vezes, contar o número de caras e obter ${\displaystyle {\hat {p}}=\left(\sum _{i=1}^{N}Y_{i}\right)/n}$ a partir desta amostra de n observações, e utilizar este p estimado (${\displaystyle {\hat {p}}}$) como estimativa para o verdadeiro parâmetro p. Nosso interesse, agora, é saber a variância de ${\displaystyle {\left({\hat {p}}\right)/\left(1-{\hat {p}}\right)}}$. O método delta permite obter uma resposta aproximada, já que uma resposta exata não é possível.

Vamos então definir a função ${\displaystyle g(p)={\frac {p}{1-p}}}$. Portanto, ${\displaystyle g'(p)={\frac {1}{\left(1-p\right)^{2}}}}$.

Pelo método delta, teremos que:

${\displaystyle {\begin{matrix}Var\left({\frac {\hat {p}}{1-{\hat {p}}}}\right)&\approx &\left[g'(p)\right]^{2}Var\left({\hat {p}}\right)\\\ &\approx &\left[{\frac {1}{\left(1-p\right)^{2}}}\right]^{2}{\frac {p\left(1-p\right)}{n}}\end{matrix}}}$^[3]

Sabemos que ${\displaystyle {\sqrt {(}}n)[Y_{n}-\mu ]{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2})<=>{\sqrt {(}}n)[{\frac {Y_{n}-\mu }{\sigma }}]{\xrightarrow {d}}N(0,1)}$

Sabemos também que ${\displaystyle g'(\mu )\neq 0}$, existe e é finito.

O desenvolvimento em série de Taylor de ${\displaystyle g(Y_{n})}$ em torno de valor ${\displaystyle \mu }$ é

${\displaystyle g(Y_{n})=g(\mu )+g'(\mu )[y_{n}-\mu ]+o_{1}<=>}$

onde ${\displaystyle o_{1}\rightarrow 0}$ quando ${\displaystyle Y_{n}\rightarrow \mu }$

${\displaystyle g(Y_{n})-g(\mu )=g'(\mu )[Y_{n}-\mu ]+0_{1}<=>}$

${\displaystyle g(Y_{n})-g(\mu )=g'(\mu )\sigma [{\frac {Y_{n}-\mu }{\sigma }}]+0_{1}<>}$

${\displaystyle g(Y_{n})-g(\mu )=g'(\mu )\sigma [{\frac {Y_{n}-\mu }{\sigma }}]+0_{1}<=>}$

${\displaystyle {\sqrt {(}}n)g(Y_{n})-g(\mu )=g'(\mu )\sigma {\sqrt {(}}n)[{\frac {Y_{n}-\mu }{\sigma }}]+0_{1}<=>}$ usando o teorema de Slutsky

${\displaystyle {\sqrt {(}}n)g(Y_{n})-g(\mu )=g'(\mu )\sigma {\sqrt {(}}n)[{\frac {Y_{n}-\mu }{\sigma }}]+0_{1}{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\mu )]^{2})}$

logo

${\displaystyle {{\sqrt {n}}[g(Y_{n})-g(\mu )]{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\mu )]^{2})}}$

• Teorema do Limite Central

Referências

• Portal da matemática

• Portal de probabilidade e estatística