- Nota: não confunda com o método dos momentos generalizado (GMM).
Em Econometria, o método dos mínimos quadrados generalizados (GLS, na sigla em inglês) é uma técnica para estimar parâmetros desconhecidos num modelo de regressão linear. O método GLS é aplicado quando a variância dos erros não é a mesma (heteroscedasticidade), ou quando há certa correlação entre os resíduos. Nestes casos, o método dos mínimos quadrados ordinários pode ser estatisticamente ineficiente ou mesmo viesado. O GLS foi inicialmente descrito por Alexander Aitken em 1934.[1]
Hipóteses do modelo
Seja o modelo na forma matricial
![{\displaystyle Y=X\beta +\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50fb0deb01602216ba7de2363b01b82112fc082)
Assumimos que[2]
![{\displaystyle E\left[\varepsilon |X\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0399c6ba206a9ed6fe8ab74a8da306852799d0)
, onde
é uma matriz positiva definida. No caso especial em que temos mínimos quadrados ordinários,
, a matriz identidade.
Esta última hipótese é bem genérica, ou seja, inclui muitos casos. Por exemplo, no caso de heteroscedasticidade, teremos
![{\displaystyle \sigma ^{2}\Omega =\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}^{2}&0&\cdots &0\\0&\sigma _{22}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\sigma _{nn}^{2}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c821fdd158553901ce5a61f668189869f17a4404)
Se tivermos, por outro lado, autocorrelação, mas não heteroscedasticidade, teremos:
![{\displaystyle \sigma ^{2}\Omega =\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}1&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\a_{1}&1&\cdots &a_{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c061fba99c97a9031e9082526816cff20e92d6)
Variância do estimador
A variância do estimador
é dada por[2]
![{\displaystyle Var\left({\hat {\beta }}^{GLS}\right)=\left[X^{T}X\right]^{-1}X^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee965010887cf4971f5859754d80771f996b7aa2)
![{\displaystyle \sigma ^{2}\Omega X\left[X^{T}X\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ede826524e8ef49de9dcfd605cf10398d92eb2)
Ver também
Referências
- ↑ Aitken, A. C. (1934). «On Least-squares and Linear Combinations of Observations». Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 55: 42–48
- ↑ a b GREENE, William H. Econometric Analysis. Prentice Hall, 5ª edição. Chapter 10-Nonspherical disturbances-The generalized regression model. Página 191.
Ligações externas
- «Explicação» (PDF) (em inglês). completa sobre GLS