Medida exterior

Em matemática, uma medida exterior é uma função que associa a cada subconjunto de um dado conjunto um número real estendido não-negativo.

Uma teoria geral de medidas exteriores foi primeiramente introduzida^[1] pelo matemático grego Constantin Carathéodory^[2] com o objetivo de prover uma base para a teoria dos conjuntos mensuráveis e sigma-aditividade. O trabalho de Carathéodory em medidas exteriores encontra diversas aplicações na teoria da medida. O conceito de dimensão de Hausdorff foi construído com base em uma medida exterior, a medida de Hausdorff.

Seja X um conjunto e ${\displaystyle 2^{X}\,}$, a família de todos os seus subconjuntos. Um função ${\displaystyle \varphi \,}$

${\displaystyle \varphi :2^{X}\to [0,\infty ]\,}$

é dita uma medida exterior se satisfizer as seguintes propriedades:

• O conjunto vazio tem medida exterior 0 (conjunto de medida zero).

${\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}$

• Monotonicidade

${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \varphi (A)\leq \varphi (B)}$

• Sub-aditividade contável : para cada família contável {A_j} de subconjuntos of X (não necessarimente disjuntos dois a dois)

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j})}$

Define-se um conjunto mensurável no sentido de Carathéodory da seguinte forma:

Um subconjunto E de X é φ-mensurável (ou Carathéodory-mensurável por φ) se e somente se para cada suconjunto A de X, vale a relação:

${\displaystyle \varphi (A)=\varphi (A\cap E)+\varphi (A\setminus E).}$

Os conjuntos φ-measuráveis formam uma σ-algebra e φ restrito aos conjuntos mensuráveis é uma medida (matemática) completa e sigma-aditiva.

Referências

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (28 de novembro de 2009). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press 

• Medida exterior de Lebesgue