Operador positivo

Em matemática, sobretudo na análise funcional, um operador linear ${\displaystyle A:H\to H\,}$ em um espaço de Hilbert ${\displaystyle H\,}$ é dito positivo se satisfizer a condição:

${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0,~~\forall ~x\in H\,}$

É fácil ver que um operador é positivo se e somente se todos os seus autovalores forem não-negativos.

Em um espaço de Banach, um operador é dito positivo se todos os autovalores forem não-negativos.

• Se ${\displaystyle A\,}$ é positivo e limitado em um espaço de Hilbert Complexo então ${\displaystyle A\,}$ é auto-adjunto.
• Se ${\displaystyle A\,}$ é positivo e limitado, então existe um único operador ${\displaystyle B\,}$ limitado e positivo tal que ${\displaystyle B^{2}=A\,}$
• Se o espaço tem dimensão finita, então a representação do operador em qualquer base é uma matriz positiva definida.