Quaternião hiperbólico

Conjuntos de números

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C ⊂ H ⊂ ⋯ {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots }

I ⊂ R ⊂ C ⊂ H ⊂ ⋯ {\displaystyle \mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots }

Na matemática, um quaternião hiperbólico (português europeu) ou quatérnio hiperbólico (português brasileiro) é um conceito matemático sugerido primeiramente por Alexander MacFarlane em 1891 em um discurso na Associação Americana para o Avanço da Ciência. A ideia foi criticada por sua falha em adaptar-se à associatividade da multiplicação. Os quaterniões hiperbólicos são uma extensão dos números complexos hiperbólicos.

Estrutura algébrica

Como os quaterniões, o conjunto dos quaterniões hiperbólicos dá forma a um espaço vetorial sobre os números reais de dimensão 4. Uma combinação linear

q = a + b i + c j + d k {\displaystyle q=a+bi+cj+dk}

é um quaternião hiperbólico quando a , {\displaystyle a,} b , {\displaystyle b,} c , {\displaystyle c,} e d {\displaystyle d} são números reais e o conjunto da base { 1 , i , j , k {\displaystyle 1,i,j,k} } tem estes produtos:

i j = k = − j i {\displaystyle ij=k=-ji}

j k = i = − k j {\displaystyle jk=i=-kj}

k i = j = − i k {\displaystyle ki=j=-ik}

i 2 = j 2 = k 2 = 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=1}

Ao contrário dos quaterniões de Hamilton, de que estes são um forma modificada, os quaterniões hiperbólicos não são associativos. Por exemplo, ( i j ) j = k j = {\displaystyle (ij)j=kj=} − i , {\displaystyle -i,} quando i ( j j ) = i . {\displaystyle i(jj)=i.} As primeiras três relações mostram que os produtos dos elementos (não-reais) da base são anticomutativos. Embora esse conjunto da base não forme um grupo, o conjunto

{ 1 , i , j , k , − 1 , − i , − j , − k } {\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}

forma um quasegrupo. Note também que todo o subplano do conjunto M de quaterniões hiperbólicos que contenham o eixo real forma um plano de números complexos hiperbólicos. Se

q ∗ = a − b i − c j − d k {\displaystyle q*=a-bi-cj-dk}

é o conjugado de q , {\displaystyle q,} então o produto q ( q ∗ ) = a 2 − b 2 − c 2 − d 2 {\displaystyle q(q*)=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}}

é a forma quadrática usada na teoria do espaço-tempo. A forma bilinear chamada de produto interno de Minkowski surge como a parte real com o sinal invertido do produto dos quaterniões hiperbólicos p q ∗ : {\displaystyle pq*:}

− p 0 q 0 + p 1 q 1 + p 2 q 2 + p 3 q 3 . {\displaystyle -p_{0}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}.}

Note que o conjunto das unidades U = {\displaystyle U=} { q : q q ∗ ≠ 0 {\displaystyle q:qq*\neq 0} } não é fechado sob a multiplicação.

Ver também

Referência

  • MacFarlane (1891) "Principles of the Algebra of Physics" Proceedings of the American Association for the Advancement of Science 40:65-117.
  • MacFarlane (1900) "Hyperbolic Quaternions" Proceedings of the Royal Society at Edinburgh, 1899-1900 session, pp. 169–181.
  • Alexander Macfarlane and the Ring of Hyperbolic Quaternions