Quatro quatros

O objetivo do problema dos quatro quatros é formar números inteiros usando quatro algarismos 4 e operações aritméticas elementares. Por exemplo, para formar o número 3, podemos fazer 3 = (4 + 4 + 4) / 4.

O problema dos quatro quatros foi apresentado na obra O Homem que Calculava, do autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, sob o heterônimo Malba Tahan. O problema consiste em formar expressões aritméticas utilizando apenas quatro algarismos 4, equivalentes, cada um, aos números inteiros.

Segundo o autor, é possível formar todos os números inteiros entre 0 e 100, utilizando, além dos números, quaisquer sinais e operações matemáticas, sem envolver letras ou inventar funções apenas para resolver o problema. Entusiastas têm resolvido o problema para mesmo além dos 10.000 primeiros inteiros.

Para encontrar as soluções para este problema, foram empregados os seguintes sinais da matemática:

• + (adição)
• - (subtração)
• * (multiplicação)
• ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ (divisão)
• n! (fatorial - representa o produto entre todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — ${\displaystyle 4!=1*2*3*4=24}$)
• n? (termial - representa a soma de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — ${\displaystyle 4?=1+2+3+4=10}$)
• ${\displaystyle x^{n}}$ (exponenciação)
• √ (radiciação) - raiz quadrada e raiz quarta

Além dessas operações, pode-se fazer uso da notação decimal, usando-se a concatenação do algarismo 4 para formar os números 44, 444 e 4444.

Uma solução geral para o problema dos Quatro Quatros, proposta por Rui Chammas e Roger Chammas,^[1] é a que todo número natural ${\displaystyle n}$ pode ser representado através da fórmula abaixo:

${\displaystyle n=-{\frac {log_{\sqrt {4}}\left(log_{\sqrt {4}}\;\left({\begin{matrix}4n+1\;{\mbox{radicais}}\\\overbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} \end{matrix}}\right)\right)}{4}}}$

Na fórmula alternativa abaixo, o número de raízes quadradas no termo da direita é igual ao número que se quer representar na esquerda.

${\displaystyle n=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}\left(log_{4}\;\left({\begin{matrix}n\;{\mbox{radicais}}\\\overbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} \end{matrix}}\right)\right)}$

A prova desta igualdade se dá pela indução abaixo. Os termos com a mesma cor são equivalentes.

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{1}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{1}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{1}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}{\sqrt {4}}})\\2&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{2}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{2}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{2}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}{\sqrt {\sqrt {4}}}})\\3&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{3}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{3}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{3}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}{\sqrt {\sqrt {\sqrt {4}}}}})\\&\dots \\n&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{n}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{n}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{n}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\dots {\sqrt {\sqrt {4}}}}}} _{n{\text{ raízes quadradas}}}})\\\end{aligned}}}$

Soluções
${\displaystyle 0=44-44}$	${\displaystyle 28=(4+4)*4-4}$	${\displaystyle 56=4*4+4?*4}$	${\displaystyle 84=4?*4?-4*4}$
${\displaystyle 1={\frac {44}{44}}}$	${\displaystyle 29=4!+4+{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 57=(4?)?+4-4+{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 85=(4?)?+4?+4?+4?}$
${\displaystyle 2={\frac {4}{4}}+{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 30=\left(4-{\frac {4}{4}}\right)*4?}$	${\displaystyle 58=(4?)?+4-{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 86=4?*4?-4-4?}$
${\displaystyle 3={\frac {4*4-4}{4}}}$	${\displaystyle 31={\frac {4?*4?+4!}{4}}}$	${\displaystyle 59=(4?)?+4-4+4}$	${\displaystyle 87=(4?)?+4*(4+4)}$
${\displaystyle 4={\frac {4-4}{4}}+4}$	${\displaystyle 32=4*4+4*4}$	${\displaystyle 60=4*4*4-4}$	${\displaystyle 88=44+44}$
${\displaystyle 5={\frac {4*4+4}{4}}}$	${\displaystyle 33=4?+4!-{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 61=(4?)?+4+4-{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 89=(4?)?+4!+({\sqrt {4}}?)?+4}$
${\displaystyle 6=4+{\frac {4+4}{4}}}$	${\displaystyle 34=4?+4?+4?+4}$	${\displaystyle 62={\frac {4?*4?+4!}{\sqrt {4}}}}$	${\displaystyle 90=(4?)?+(4?)?-4?-4?}$
${\displaystyle 7={\frac {44}{4}}-4}$	${\displaystyle 35=4?+4!+{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 63={\frac {4^{4}-4}{4}}}$	${\displaystyle 91=(4?)?+4?*4-4}$
${\displaystyle 8={\frac {4+4}{4}}*4}$	${\displaystyle 36=44-4-4}$	${\displaystyle 64=4^{4-{\frac {4}{4}}}}$	${\displaystyle 92=4?*4?-4-4}$
${\displaystyle 9=4+4+{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 37=(4?)?-4!+4+{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 65={\frac {4^{4}+4}{4}}}$	${\displaystyle 93=(4?)?+4!+4!-4?}$
${\displaystyle 10={\frac {44-4}{4}}}$	${\displaystyle 38=44-{\frac {4!}{4}}}$	${\displaystyle 66=4*4*4+{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 94=4?*4?-4-{\sqrt {4}}}$
${\displaystyle 11=4?+4^{4-4}}$	${\displaystyle 39=4?*4-{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 67=(4?)?+4+4+4}$	${\displaystyle 95=4!*4-{\frac {4}{4}}}$
${\displaystyle 12={\frac {44+4}{4}}}$	${\displaystyle 40=4!+4!-4-4}$	${\displaystyle 68=4*4*4+4}$	${\displaystyle 96=4!*4+4-4}$
${\displaystyle 13=4?+4-{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 41=4?*4+{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 69=(4?)?+4?+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 97=4!*4+{\frac {4}{4}}}$
${\displaystyle 14={\frac {4!}{4}}+4+4}$	${\displaystyle 42=4!+4!-4-{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 70={\frac {4?*(4!+4)}{4}}}$	${\displaystyle 98=4?*4?-4+{\sqrt {4}}}$
${\displaystyle 15=4*4-{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 43=44-{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 71=(4?)?+{\sqrt {4}}*{\sqrt {4}}*4}$	${\displaystyle 99=4?*4?-{\frac {4}{4}}}$
${\displaystyle 16=4^{\frac {4}{4}}*4}$	${\displaystyle 44={\frac {44*4}{4}}}$	${\displaystyle 72={\sqrt {4}}*(4?+4!+{\sqrt {4}})}$	${\displaystyle 100=4?*4?+4-4}$
${\displaystyle 17=4*4+{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 45=44+{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 73=(4?)?+4*4+{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 101=4?*4?+{\frac {4}{4}}}$
${\displaystyle 18=4?+4+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}},}$	${\displaystyle 46=4!+4?+4?+{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 74=4*4*4+4?}$	${\displaystyle 102=4?*4?+4-{\sqrt {4}}}$
${\displaystyle 19=4!-4-{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 47=4!+4!-{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 75=(4?)?+4*4+4}$	${\displaystyle 103=(4?)?+44+4}$
${\displaystyle 20=4?*{\frac {4+4}{4}}}$	${\displaystyle 48=4!+4!+4-4}$	${\displaystyle 76=4?*(4+4)-4}$	${\displaystyle 104=4?*4?+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}}$
${\displaystyle 21=4!-4+{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 49=4!+4!+{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 77=(4?)?+4?+4?+{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 105=({\frac {4!}{4}}+4+4)?}$
${\displaystyle 22=4!-{\frac {4+4}{4}}}$	${\displaystyle 50={\frac {4!}{4}}+44}$	${\displaystyle 78=4?*(4+4)-{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 106=4^{4}-{\frac {(4!)?}{\sqrt {4}}}}$
${\displaystyle 23=4!-4^{4-4}}$	${\displaystyle 51=(4?)?-4!+4!-4}$	${\displaystyle 79=(4?)?+4?+4?+4}$	${\displaystyle 107={\frac {(4!-4)?}{\sqrt {4}}}+{\sqrt {4}}}$
${\displaystyle 24=4*4+4+4}$	${\displaystyle 52=44+4+4}$	${\displaystyle 80=4*4?+4*4?}$	${\displaystyle 108=4?*4?+4+4}$
${\displaystyle 25=4!+4^{4-4}}$	${\displaystyle 53=(4?)?-{\sqrt {4}}-4+4}$	${\displaystyle 81=(4-{\frac {4}{4}})^{4}}$	${\displaystyle 109=(4*4-{\sqrt {4}})?+4}$
${\displaystyle 26=4!+{\frac {4+4}{4}}}$	${\displaystyle 54=4!+4!+{\sqrt {4}}+4}$	${\displaystyle 82=4?*(4+4)+{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 110=(4?)?+(4?)?+4-4}$
${\displaystyle 27=4!+4-{\frac {4}{4}}}$	${\displaystyle 55=(4?)?+4-{\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 83=(4?)?+4!+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 111={\frac {444}{4}}}$
${\displaystyle 112=(4?)?+(4?)?+4-{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 113=4!+4!+4?+({\sqrt {4}}?)}$	${\displaystyle 114=(4?)?+(4?)?+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle 115=(4?)?+(4?)?+{\frac {4?}{\sqrt {4}}}}$
${\displaystyle 116=4?*4?+4*4}$	${\displaystyle 117=(4?)?*({\sqrt {4}}?)-4!-4!}$	${\displaystyle 118=(4?)?+(4?)?+4+4}$	${\displaystyle 119=(4?)?+(4?)?+{\sqrt {4}}?*{\sqrt {4}}?}$
${\displaystyle 120=4?*4?+4!-4}$

A função gama generaliza o fatorial para números que não são inteiros, ou, mais precisamente, ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!.}$ Em particular, como ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$ pode-se dizer que ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\right)!={\sqrt {\pi }}.}$ Portanto, o número transcendente π pode ser escrito com quatro quatros:

$${\displaystyle \pi ={\Bigg (}{\bigg (}{\frac {{\sqrt {4}}-4}{4}}{\bigg )}!{\Bigg )}^{\sqrt {4}}}$$

A unidade imaginária i também pode ser escrita como:

$${\displaystyle i={\sqrt {-{\frac {4\times 4}{4\times 4}}}}}$$

Não é possível escrever o número de Euler e, porém é possível se aproximar o quanto se queira:

$${\displaystyle e\approx {\Bigg (}{\frac {4!!!!+{\sqrt {4!!!!}}}{4!!!!}}{\Bigg )}^{\sqrt {4!!!!}}}$$

Referências

• Portal da matemática