Regra dos sinais de Descartes

A regra dos sinais de Descartes, primeiramente descrita por René Descartes no seu trabalho La géométrie, é um teorema que determina o número de raízes positivas e negativas de um polinômio.

Segundo a regra, se os termos de um polinômio com coeficientes reais são colocados em ordem decrescente de grau, então o número de raízes positivas do polinômio é ou igual ao número de permutações de sinal ou menor por uma diferença par. Mais precisamente falando, o número de permutações é igual ao número de raízes positivas acrescido do número de raízes imaginárias (que sempre acontecem ao pares em polinômios de coeficientes reais).

${\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1\,}$

Possui uma mudança de sinal entre o segundo e o terceiro termos. Portanto possui apenas uma raiz positiva.

Para contar o número de raízes negativa, fazemos a substituição ${\displaystyle x\longrightarrow -x\,}$:

${\displaystyle -x^{3}+x^{2}+x-1\,}$

Este polinômio tem duas permutações de sinal, logo o polinômio original possui 2 ou 0 raízes negativas.

Para confirmar o resultado, observe a fatoração do polinômio:

${\displaystyle (x+1)^{2}(x-1),\,}$

Então as raízes são -1 (duas vezes) e 1

• Teorema de Sturm

• «Descartes' Rule of Signs» (em inglês). — Prova do teorema 

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