Representação Adjunta (álgebra de Lie)

 Nota: Se procura a forma de representar os elementos do grupo como transformações lineares do grupo de álgebra de Lie, veja Representação adjunta (grupo de Lie).

Em matemática, o endomorfismo adjunto (ou ação adjunta} é um homomorfismo das álgebras de Lie que desempenha um papel fundamental no desenvolvimento da teoria das álgebras de Lie^[1].

Dado um elemento ${\displaystyle x}$ de uma álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, define-se a ação adjunta de ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ como o mapa ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ com

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}$

para todo ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

O conceito gera a representação adjunta de um grupo de Lie ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$. Na verdade, ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ é precisamente o diferencial de ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ no elemento identidade do grupo^[2].

Seja ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ uma álgebra de Lie sobre um campo de ${\displaystyle k}$. Então o mapa linear

${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$

dado por ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {ad} _{x}}$ é uma representação de uma álgebra de Lie e é chamada de representação adjunta da álgebra^[3].

Dentro ${\displaystyle \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$, o colchete de Lie é, por definição, dado pelo comutador de dois operadores:

${\displaystyle [\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]=\operatorname {ad} _{x}\circ \operatorname {ad} _{y}-\operatorname {ad} _{y}\circ \operatorname {ad} _{x}}$

onde ${\displaystyle \circ }$ denota a composição de mapas lineares. Se ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é de dimensão finita, então ${\displaystyle \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$ é isomorfo a ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$, a álgebra de Lie do grupo linear geral sobre o espaço vetorial ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ e se uma base para ele é escolhido, a composição corresponde ao produto de matrizes.

Usando a definição acima do colchete de Lie, a identidade de Jacobi ^{[nota 1]}

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$

assume a forma

${\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}$

onde ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, e ${\displaystyle z}$ são elementos arbitrários de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Os elementos explícitos da matriz da representação adjunta são dados pelas constantes de estrutura da álgebra^[4]. Ou seja, deixe {eⁱ} ser um conjunto de vetores de base para a álgebra, com

${\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}$

Então os elementos da matriz para ${\displaystyle {\operatorname {ad} _{e^{i}}}}$ são dados por

${\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}.}$

Assim, por exemplo, a representação adjunta de SU(2) é o representante de definição de SO(3)^[5][6].

Notas e referências

Notas

Referências

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