Símbolo de Legendre

Função multiplicativa com valores 1, −1, 0
Símbolo de Legendre (ap)
para vários a (ao longo do topo) e p (ao longo do lado esquerdo).
a
p
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 0 1 −1
5 0 1 −1 −1 1
7 0 1 1 −1 1 −1 −1
11 −0 −1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 −1 −1

Apenas 0 ≤ a < p são mostrados, uma vez que devido à primeira propriedade abaixo qualquer outro a pode ser módulo p reduzido. Os resíduos quadráticos são destacados em amarelo e correspondem precisamente aos valores 0 e 1.

Na teoria dos números, o símbolo de Legendre é uma função multiplicativa com os valores 1, -1, 0 que é um módulo de caráter quadrático de um número primo ímpar p: seu valor em um resíduo quadrático (diferente de zero) mod p é 1 e em um não resíduo quadrático (que não é resíduo) mod p é -1. Seu valor em zero é 0.

O símbolo de Legendre foi introduzido por Adrien-Marie Legendre, em 1798,[1]no curso de suas tentativas de provar a lei da reciprocidade quadrática. As generalizações do símbolo incluem o símbolo de Jacobi e os carateres de Dirichlet de ordem superior. A conveniência de notação do símbolo de Legendre inspirou a introdução de vários outros "símbolos" usados na teoria algébrica dos números, como o símbolo de Hilbert [en] e o símbolo de Artin [en].

Definição

Seja p {\displaystyle p} um número primo ímpar. Um inteiro a {\displaystyle a} é um resíduo quadrático módulo p {\displaystyle p} se for congruente a um quadrado perfeito módulo p {\displaystyle p} e ,caso não, é um não resíduo quadrático módulo p {\displaystyle p} . O símbolo de Legendre é uma função de a {\displaystyle a} e p {\displaystyle p} definida como

( a p ) = { 1 se  a  é um resíduo quadrático modulo  p  e  a ≢ 0 ( mod p ) , − 1 se  a  é um não resíduo quadrático modulo  p , 0 se  a ≡ 0 ( mod p ) . {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{se }}a{\text{ é um resíduo quadrático modulo }}p{\text{ e }}a\not \equiv 0{\pmod {p}},\\-1&{\text{se }}a{\text{ é um não resíduo quadrático modulo }}p,\\0&{\text{se }}a\equiv 0{\pmod {p}}.\end{cases}}}

A definição original de Legendre era por meio da fórmula explícita

( a p ) ≡ a p − 1 2 ( mod p )  e  ( a p ) ∈ { − 1 , 0 , 1 } . {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}\quad {\text{ e }}\quad \left({\frac {a}{p}}\right)\in \{-1,0,1\}.}

Pelo Critério de Euler, que foi descoberto anteriormente e era conhecido por Legendre, essas duas definições são equivalentes.[2] Assim, a contribuição de Legendre consistiu na introdução de uma notação conveniente que registrou a residuosidade quadrática de a mod p. Para efeito de comparação, Gauss usou a notação aRp, aNp de acordo com se a é um resíduo ou não resíduo módulo p. Por conveniência tipográfica, o símbolo de Legendre às vezes é escrito como (a|p) ou (a/p). Para p fixo, a sequência ( 0 p ) , ( 1 p ) , ( 2 p ) , … {\displaystyle \left({\tfrac {0}{p}}\right),\left({\tfrac {1}{p}}\right),\left({\tfrac {2}{p}}\right),\ldots } é periódica [en] com período p e às vezes é chamada de sequência de Legendre. Cada linha da tabela a seguir exibe periodicidade, conforme descrito.

Tabela de valores

A seguir está uma tabela de valores do símbolo de Legendre ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} com p ≤ 127, a ≤ 30, p primo ímpar.

a
p
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
3 −1 −1 0 −1 −1 0 1 −1 −0 1 −1 0 1 −1 0 −1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 −1 −1 0 1 −1 0
5 1 −1 −1 1 0 1 −1 −1 1 0 1 −1 −1 1 0 1 −1 −1 1 0 1 −1 −1 1 0 1 −1 −1 1 0
7 1 1 −1 1 −1 −1 0 1 1 −1 1 −1 −1 0 1 1 −1 1 −1 −1 0 1 1 −1 1 −1 −1 0 1 1
11 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 0 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 0 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1
13 1 −1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 0 1 −1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 0 1 −1 1 1
17 1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 1 0 1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1
19 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 −1 0 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 1
23 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 −1 0 1 1 1 1 −1 1 −1
29 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 1 1 1 −1 −1 1 0 1
31 1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1
37 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 1 1 −1 1
41 1 1 −1 1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 −1 −1
43 1 −1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1
47 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 1 1 −1 −1
53 1 −1 −1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1
59 1 −1 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 1 1 −1
61 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1
67 1 −1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1
71 1 1 1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 1 1
73 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 1 1 −1 1 −1 −1 −1
79 1 1 −1 1 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 1 1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 −1
83 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 1 1 1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 1 1 1 1
89 1 1 −1 1 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 −1 −1
97 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1 −1 −1
101 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 1
103 1 1 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 1 −1 1 1 1
107 1 −1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 1
109 1 −1 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 1 1 −1
113 1 1 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 1
127 1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1

Propriedades do símbolo Legendre

Existem várias propriedades úteis do símbolo de Legendre que, juntamente com a lei da reciprocidade quadrática, podem ser usadas para o computar de forma eficiente.

  • Dado um gerador g ∈ F p ∗ {\displaystyle g\in \mathbb {F} _{p}^{*}} , se x = g r {\displaystyle x=g^{r}} , então x {\displaystyle x} é um resíduo quadrático se e somente se r {\displaystyle r} for par. Isso também mostra que metade dos elementos diferentes de zero em F p ∗ {\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{*}} são resíduos quadráticos.
  • Se p ≡ 3  mod  4 {\displaystyle p\equiv 3{\text{ mod }}4} então o fato de que
    p + 1 4 + p + 1 4 = ( p − 1 ) + 2 2 {\displaystyle {\frac {p+1}{4}}+{\frac {p+1}{4}}={\frac {(p-1)+2}{2}}} nos dá que a = x ( p + 1 ) / 4 {\displaystyle a=x^{(p+1)/4}} é a raiz quadrada do resíduo quadrático x {\displaystyle x} .
  • O símbolo de Legendre é periódico em seu primeiro (ou superior) argumento: se a ≡ b (mod p), então
    ( a p ) = ( b p ) . {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right).}
  • O símbolo de Legendre é uma função completamente multiplicativa de seu argumento principal:
    ( a b p ) = ( a p ) ( b p ) . {\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right).}
  • Em particular, o produto de dois números que são ambos resíduos quadráticos ou não resíduos quadráticos módulo p é um resíduo, enquanto o produto de um de resíduo com um não resíduo é um não é resíduo. Um caso especial é o símbolo de Legendre de um quadrado:
    ( x 2 p ) = { 1 se  p ∤ x 0 se  p ∣ x . {\displaystyle \left({\frac {x^{2}}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\mbox{se }}p\nmid x\\0&{\mbox{se }}p\mid x.\end{cases}}}
  • Quando visto como uma função de a, o símbolo de Legendre ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} é o único caráter de Dirichlet quadrático (ou de ordem 2) módulo p.
  • O primeiro suplemento à lei da reciprocidade quadrática:
    ( − 1 p ) = ( − 1 ) p − 1 2 = { 1  se  p ≡ 1 ( mod 4 ) − 1  se  p ≡ 3 ( mod 4 ) . {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&{\mbox{ se }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\mbox{ se }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}}
  • O segundo suplemento à lei da reciprocidade quadrática:
    ( 2 p ) = ( − 1 ) p 2 − 1 8 = { 1  se  p ≡ 1  ou  7 ( mod 8 ) − 1  se  p ≡ 3  ou  5 ( mod 8 ) . {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\tfrac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&{\mbox{ se }}p\equiv 1{\mbox{ ou }}7{\pmod {8}}\\-1&{\mbox{ se }}p\equiv 3{\mbox{ ou }}5{\pmod {8}}.\end{cases}}}
  • Fórmulas especiais para o símbolo de Legendre ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} para pequenos valores de a:
    • Para um primo ímpar p ≠ 3
      ( 3 p ) = ( − 1 ) ⌊ p + 1 6 ⌋ = { 1  se  p ≡ 1  ou  11 ( mod 12 ) − 1  se  p ≡ 5  ou  7 ( mod 12 ) . {\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{{\big \lfloor }{\frac {p+1}{6}}{\big \rfloor }}={\begin{cases}1&{\mbox{ se }}p\equiv 1{\mbox{ ou }}11{\pmod {12}}\\-1&{\mbox{ se }}p\equiv 5{\mbox{ ou }}7{\pmod {12}}.\end{cases}}}
    • Para um primo ímpar p ≠ 5,
      ( 5 p ) = ( − 1 ) ⌊ 2 p + 2 5 ⌋ = { 1  se  p ≡ 1  or  4 ( mod 5 ) − 1  se  p ≡ 2  or  3 ( mod 5 ) . {\displaystyle \left({\frac {5}{p}}\right)=(-1)^{{\big \lfloor }{\frac {2p+2}{5}}{\big \rfloor }}={\begin{cases}1&{\mbox{ se }}p\equiv 1{\mbox{ or }}4{\pmod {5}}\\-1&{\mbox{ se }}p\equiv 2{\mbox{ or }}3{\pmod {5}}.\end{cases}}}
  • Os números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … são definidos pela recorrência F1 = F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1. Se p é um número primo, então
    F p − ( p 5 ) ≡ 0 ( mod p ) , F p ≡ ( p 5 ) ( mod p ) . {\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p}},\qquad F_{p}\equiv \left({\frac {p}{5}}\right){\pmod {p}}.}
Por exemplo,
( 2 5 ) = − 1 , F 3 = 2 , F 2 = 1 , ( 3 5 ) = − 1 , F 4 = 3 , F 3 = 2 , ( 5 5 ) = 0 , F 5 = 5 , ( 7 5 ) = − 1 , F 8 = 21 , F 7 = 13 , ( 11 5 ) = 1 , F 10 = 55 , F 11 = 89. {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\tfrac {2}{5}}\right)&=-1,&F_{3}&=2,&F_{2}&=1,\\\left({\tfrac {3}{5}}\right)&=-1,&F_{4}&=3,&F_{3}&=2,\\\left({\tfrac {5}{5}}\right)&=0,&F_{5}&=5,&&\\\left({\tfrac {7}{5}}\right)&=-1,&F_{8}&=21,&F_{7}&=13,\\\left({\tfrac {11}{5}}\right)&=1,&F_{10}&=55,&F_{11}&=89.\end{aligned}}}

Símbolo de Legendre e reciprocidade quadrática

Sejam p e q primos ímpares distintos. Usando o símbolo de Legendre, a lei de reciprocidade quadrática pode ser declarada de forma concisa:

( q p ) ( p q ) = ( − 1 ) p − 1 2 ⋅ q − 1 2 . {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{{\tfrac {p-1}{2}}\cdot {\tfrac {q-1}{2}}}.}

Muitas provas de reciprocidade quadrática [en] são baseadas no Critério de Euler

( a p ) ≡ a p − 1 2 ( mod p ) . {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\tfrac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.}

Além disso, várias expressões alternativas para o símbolo de Legendre foram concebidas a fim de produzir várias provas da lei de reciprocidade quadrática.

∑ k = 0 p − 1 ζ a k 2 = ( a p ) ∑ k = 0 p − 1 ζ k 2 , ζ = e 2 π i p {\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}\zeta ^{ak^{2}}=\left({\frac {a}{p}}\right)\sum _{k=0}^{p-1}\zeta ^{k^{2}},\qquad \zeta =e^{\frac {2\pi i}{p}}}
em sua quarta[4] e sexta[5] provas de reciprocidade quadrática.

A prova de Kronecker[6] primeiro estabelece que

( p q ) = sgn ⁡ ( ∏ i = 1 q − 1 2 ∏ k = 1 p − 1 2 ( k p − i q ) ) . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \left(\prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)\right).}

Invertendo as funções de p e q, ele obtém a relação entre (pq) e (qp)

Uma das provas de Eisenstein[7] começa mostrando que

( q p ) = ∏ n = 1 p − 1 2 sen ⁡ ( 2 π q n p ) sen ⁡ ( 2 π n p ) . {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\operatorname {sen} \left({\frac {2\pi qn}{p}}\right)}{\operatorname {sen} \left({\frac {2\pi n}{p}}\right)}}.}

Usando certas funções elípticas em vez da função seno, Eisenstein foi capaz de provar as reciprocidades cúbica [en] e quártica [en] também.

Funções relacionadas

  • O símbolo de Jacobi (an) é uma generalização do símbolo de Legendre que permite um segundo argumento composto (inferior) n, embora n ainda deva ser ímpar e positivo. Essa generalização fornece uma maneira eficiente de calcular todos os símbolos de Legendre sem realizar a fatoração ao longo do caminho.
  • Uma extensão adicional é o símbolo de Kronecker, no qual o argumento inferior pode ser qualquer número inteiro.
  • O símbolo de resíduo de potência [en] (an)n generaliza o símbolo de Legendre para a maior potência n. O símbolo de Legendre representa o símbolo de resíduo de potência [en] para n = 2.

Exemplo computacional

As propriedades acima, incluindo a lei da reciprocidade quadrática, podem ser usadas para avaliar qualquer símbolo de Legendre. Por exemplo:

( 12345 331 ) = ( 3 331 ) ( 5 331 ) ( 823 331 ) = ( 3 331 ) ( 5 331 ) ( 161 331 ) = ( 3 331 ) ( 5 331 ) ( 7 331 ) ( 23 331 ) = ( − 1 ) ( 331 3 ) ( 331 5 ) ( − 1 ) ( 331 7 ) ( − 1 ) ( 331 23 ) = − ( 1 3 ) ( 1 5 ) ( 2 7 ) ( 9 23 ) = − ( 1 3 ) ( 1 5 ) ( 2 7 ) ( 3 2 23 ) = − ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) = − 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {12345}{331}}\right)&=\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {823}{331}}\right)\\&=\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {161}{331}}\right)\\&=\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {7}{331}}\right)\left({\frac {23}{331}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {331}{3}}\right)\left({\frac {331}{5}}\right)(-1)\left({\frac {331}{7}}\right)(-1)\left({\frac {331}{23}}\right)\\&=-\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{5}}\right)\left({\frac {2}{7}}\right)\left({\frac {9}{23}}\right)\\&=-\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{5}}\right)\left({\frac {2}{7}}\right)\left({\frac {3^{2}}{23}}\right)\\&=-(1)(1)(1)(1)\\&=-1.\end{aligned}}}

Ou usando um cálculo mais eficiente:

( 12345 331 ) = ( 98 331 ) = ( 2 ⋅ 7 2 331 ) = ( 2 331 ) = ( − 1 ) 331 2 − 1 8 = − 1. {\displaystyle \left({\frac {12345}{331}}\right)=\left({\frac {98}{331}}\right)=\left({\frac {2\cdot 7^{2}}{331}}\right)=\left({\frac {2}{331}}\right)=(-1)^{\tfrac {331^{2}-1}{8}}=-1.}

O artigo sobre o Símbolo de Jacobi tem mais exemplos de manipulação de símbolos de Legendre.

Como nenhum algoritmo de fatoração eficiente é conhecido, mas algoritmos de exponenciação modular [en] eficientes são, em geral, é mais eficiente usar a definição original de Legendre, por exemplo

( 98 331 ) ≡ 98 331 − 1 2 ( mod 331 ) ≡ 98 165 ( mod 331 ) ≡ 98 ⋅ ( 98 2 ) 82 ( mod 331 ) ≡ 98 ⋅ 5 82 ( mod 331 ) ≡ 98 ⋅ 25 41 ( mod 331 ) ≡ 133 ⋅ 25 40 ( mod 331 ) ≡ 133 ⋅ 294 20 ( mod 331 ) ≡ 133 ⋅ 45 10 ( mod 331 ) ≡ 133 ⋅ 39 5 ( mod 331 ) ≡ 222 ⋅ 39 4 ( mod 331 ) ≡ 222 ⋅ 197 2 ( mod 331 ) ≡ 222 ⋅ 82 ( mod 331 ) ≡ − 1 ( mod 331 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {98}{331}}\right)&\equiv 98^{\frac {331-1}{2}}&{\pmod {331}}\\&\equiv 98^{165}&{\pmod {331}}\\&\equiv 98\cdot (98^{2})^{82}&{\pmod {331}}\\&\equiv 98\cdot 5^{82}&{\pmod {331}}\\&\equiv 98\cdot 25^{41}&{\pmod {331}}\\&\equiv 133\cdot 25^{40}&{\pmod {331}}\\&\equiv 133\cdot 294^{20}&{\pmod {331}}\\&\equiv 133\cdot 45^{10}&{\pmod {331}}\\&\equiv 133\cdot 39^{5}&{\pmod {331}}\\&\equiv 222\cdot 39^{4}&{\pmod {331}}\\&\equiv 222\cdot 197^{2}&{\pmod {331}}\\&\equiv 222\cdot 82&{\pmod {331}}\\&\equiv -1&{\pmod {331}}\end{aligned}}}

usando quadratura repetida [en] módulo 331, reduzindo cada valor usando o módulo após cada operação para evitar computação com números inteiros grandes.

Notas

  1. ↑ Legendre, A. M. (1798). Essai sur la théorie des nombres. Paris: [s.n.] p. 186 
  2. ↑ Hardy & Wright, Thm. 83.
  3. ↑ Ribenboim, p. 64; Lemmermeyer, ex. 2.25–2.28, pp. 73–74.
  4. ↑ Gauss, "Summierung gewisser reihen von besonderer art" (1811), reimpresso em Untersuchungen ... pp. 463–495
  5. ↑ Gauss, "Neue beweise und erweiterungen des fundamentalsatzes in der lehre von den quadratischen resten" (1818) reimpresso em Untersuchungen ... pp. 501–505
  6. ↑ Lemmermeyer, ex. p. 31, 1.34
  7. ↑ Lemmermeyer, pp. 236 ff.

Referências

  • Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen über höhere arithmetik (Disquisitiones arithmeticae & other papers on number theory), ISBN 0-8284-0191-8, traduzido por Maser, H. 2ª ed. , New York: Chelsea 
  • Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones arithmeticae, ISBN 0-387-96254-9, traduzido por Clarke, Arthur A. 2ª, corrigida ed. , New York: Springer 
  • Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996), Algorithmic number theory, ISBN 0-262-02405-5, I: Efficient algorithms, Cambridge: The M.I.T. Press 
  • Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An introduction to the theory of numbersRegisto grátis requerido, ISBN 978-0-19-853171-5 5ª ed. , Oxford: Oxford University Press 
  • Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A classical introduction to modern number theory, ISBN 0-387-97329-X 2ª ed. , New York: Springer 
  • Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity laws: from Euler to Eisenstein, ISBN 3-540-66957-4, Berlin: Springer 
  • Ribenboim, Paulo (1996), The new book of prime number records, ISBN 0-387-94457-5, New York: Springer 

Ligações externas

  • Calculadora de símbolo de Jacobi (em inglês)