Teorema de Fuchs

Na matemática, o teorema de Fuchs, nomeado em referência ao professor e matemático Lazarus Fuchs, afirma que uma equação diferencial de segunda ordem da forma

${\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)}$

tem uma solução que é expressa por uma série de Frobenius quando ${\displaystyle p(x)}$, ${\displaystyle q(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ são funções analíticas em ${\displaystyle x=a}$ ou quando ${\displaystyle a}$ é um ponto singular regular . Ou seja, qualquer solução para esta equação diferencial de segunda ordem pode ser escrita como

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n+s},\quad a_{0}\neq 0}$

para algum s real, ou

${\displaystyle y=y_{0}\ln(x-a)+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n+r},\quad b_{0}\neq 0}$

para algum r real, onde y ₀ é uma solução do primeiro tipo.

O seu raio de convergência é igual ao mínimo do raio de convergência de ${\textstyle p(x)}$, ${\textstyle q(x)}$e ${\textstyle g(x)}$.^[1][2]

• Método de Frobenius

Referências