Teorema de Papo

Teorema de Papo:
Dado um hexágono XbCYcB, cujos lados são formados pelas retas Ab-bC-Ca-aB-Bc-cA, se as retas Xb, BC e cY são concorrentes e se BX, cb e YC são concorrentes, então as retas Bc, XY e bC serão também concorrentes

O teorema de Papo,[1] mais conhecido como teorema de Pappus,[2] atribuído a Papo (ou Pappus) de Alexandria, é um teorema de geometria projetiva do plano sobre o alinhamento de três pontos:

Dado um conjunto de pontos colineares A, B, C, e um outro conjunto de pontos colineares a, b, c, os pontos de intersecção x, y, z dos pares de retas
Ab-aB, Ac-aC e Bc - bC também serão colineares.

A dualidade desse teorema afirma que:

Dado um conjunto de linhas concorrentes A, B, C, e um outro conjunto de linhas concorrentes a, b, c, então as linhas x, y, z definidas pelos pares de pontos resultantes dos pares de intersecção (A∩b, a∩B), (A∩c , a∩C) e (B∩c, b∩C) são concorrentes.

A generalização deste teorema é o teorema de Pascal, que foi descoberto por Blaise Pascal, quando tinha 16 anos de idade.

Afirmação e prova do teorema de Papo

Hexágono XbCYcB exemplo do Teorema de Papo

Vamos considerar seis linhas em um plano projetado: U, V, W, X, Y, e Z. Então o teorema pode ser expresso como:

Se

(1) os pontos equivalentes as intersecções de U com V, X com W, e Y com Z são colineares,

e se

(2) os pontos equivalentes as intersecções de U com Z, X com V, e Y com W são colineares, então

deve ser verdade que

(3) os pontos equivalentes a intersecções de U com W, X com Z, e Y com V são colineares.

Simbolicamente, o teorema de papus afirma o seguinte:

Se

⟨ U × V , X × W , Y × Z ⟩ = 0 {\displaystyle \langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle =0}

e se

⟨ U × Z , X × V , Y × W ⟩ = 0 {\displaystyle \langle U\times Z,X\times V,Y\times W\rangle =0}

então

⟨ U × W , X × Z , Y × V ⟩ = 0. {\displaystyle \langle U\times W,X\times Z,Y\times V\rangle =0.}

Prova

Sendo

α = ⟨ U × V , X × W , Y × Z ⟩ {\displaystyle \alpha =\langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle }
β = ⟨ U × Z , X × V , Y × W ⟩ {\displaystyle \beta =\langle U\times Z,X\times V,Y\times W\rangle }
γ = ⟨ U × W , X × Z , Y × V ⟩ {\displaystyle \gamma =\langle U\times W,X\times Z,Y\times V\rangle }

Nós temos que demonstrar que se α {\displaystyle \alpha } = 0 e β {\displaystyle \beta } = 0, então γ {\displaystyle \gamma } = 0.

Passo 1

Utilizando a identidade

⟨ A , B , C ⟩ = ⟨ C , A , B ⟩ = ⟨ B , C , A ⟩ {\displaystyle \langle A,B,C\rangle =\langle C,A,B\rangle =\langle B,C,A\rangle }

podemos expressar α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , e γ {\displaystyle \gamma } na seguinte forma equivalente:

α = ⟨ U × V , X × W , Y × Z ⟩ {\displaystyle \alpha =\langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle }
β = ⟨ Y × W , U × Z , X × V ⟩ {\displaystyle \beta =\langle Y\times W,U\times Z,X\times V\rangle }
γ = ⟨ X × Z , Y × V , U × W ⟩ {\displaystyle \gamma =\langle X\times Z,Y\times V,U\times W\rangle }

Passo 2

Aplicando as propriedades

⟨ A , B , C ⟩ = A ⋅ ( B × C ) {\displaystyle \langle A,B,C\rangle =A\cdot (B\times C)}
A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B ) C {\displaystyle A\times (B\times C)=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C}

obtemos

α = ( U × V ) ⋅ ( ( X × W ) × ( Y × Z ) ) {\displaystyle \alpha =(U\times V)\cdot ((X\times W)\times (Y\times Z))}
β = ( Y × W ) ⋅ ( ( U × Z ) × ( X × V ) ) {\displaystyle \beta =(Y\times W)\cdot ((U\times Z)\times (X\times V))}
γ = ( X × Z ) ⋅ ( ( Y × V ) × ( U × W ) ) {\displaystyle \gamma =(X\times Z)\cdot ((Y\times V)\times (U\times W))}

e então

α = ( U × V ) ⋅ ( ⟨ X , W , Z ⟩ Y − ⟨ X , W , Y ⟩ Z ) {\displaystyle \alpha =(U\times V)\cdot (\langle X,W,Z\rangle Y-\langle X,W,Y\rangle Z)}
β = ( Y × W ) ⋅ ( ⟨ U , Z , V ⟩ X − ⟨ U , Z , X ⟩ V ) {\displaystyle \beta =(Y\times W)\cdot (\langle U,Z,V\rangle X-\langle U,Z,X\rangle V)}
γ = ( X × Z ) ⋅ ( ⟨ Y , V , W ⟩ U − ⟨ Y , V , U ⟩ W ) {\displaystyle \gamma =(X\times Z)\cdot (\langle Y,V,W\rangle U-\langle Y,V,U\rangle W)}

Passo 3

Usando a propriedade distributiva do produto escalar:

α = ⟨ X , W , Z ⟩ ⟨ U , V , Y ⟩ − ⟨ X , W , Y ⟩ ⟨ U , V , Z ⟩ {\displaystyle \alpha =\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle -\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle }
β = ⟨ U , Z , V ⟩ ⟨ Y , W , X ⟩ − ⟨ U , Z , X ⟩ ⟨ Y , W , V ⟩ {\displaystyle \beta =\langle U,Z,V\rangle \langle Y,W,X\rangle -\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle }
γ = ⟨ Y , V , W ⟩ ⟨ X , Z , U ⟩ − ⟨ Y , V , U ⟩ ⟨ X , Z , W ⟩ {\displaystyle \gamma =\langle Y,V,W\rangle \langle X,Z,U\rangle -\langle Y,V,U\rangle \langle X,Z,W\rangle }

Passo 4

Com as identidades

⟨ A , B , C ⟩ = ⟨ C , A , B ⟩ = ⟨ B , C , A ⟩ {\displaystyle \langle A,B,C\rangle =\langle C,A,B\rangle =\langle B,C,A\rangle }
⟨ A , B , C ⟩ = − ⟨ A , C , B ⟩ = − ⟨ C , B , A ⟩ = − ⟨ B , A , C ⟩ {\displaystyle \langle A,B,C\rangle =-\langle A,C,B\rangle =-\langle C,B,A\rangle =-\langle B,A,C\rangle }

Podemos permutar os termos como segue:

α = ⟨ X , W , Z ⟩ ⟨ U , V , Y ⟩ − ⟨ X , W , Y ⟩ ⟨ U , V , Z ⟩ {\displaystyle \alpha =\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle -\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle }
β = − ⟨ U , Z , X ⟩ ⟨ Y , W , V ⟩ + ⟨ X , W , Y ⟩ ⟨ U , V , Z ⟩ {\displaystyle \beta =-\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle +\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle }
γ = ⟨ U , Z , X ⟩ ⟨ Y , W , V ⟩ − ⟨ X , W , Z ⟩ ⟨ U , V , Y ⟩ {\displaystyle \gamma =\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle -\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle }

Passo 5

Agora podemos somar as equações para obter:

α + β + γ = 0 {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =0}
γ = − ( α + β ) {\displaystyle \gamma =-(\alpha +\beta )}

de onde segue que se α {\displaystyle \alpha } = 0 e β {\displaystyle \beta } = 0, então γ {\displaystyle \gamma } = 0.

Referências

  1. ↑ Google Acadêmico. "Teorema de Papo"
  2. ↑ Google Acadêmico. "Teorema de Pappus"