Teorema de Pompeiu

O teorema de Pompeiu é um resultado da geometria plana, descoberto pelo matemático romeno Dimitrie Pompeiu. O teorema é simples, mas não clássico. Estabelece que:

Dado um triângulo equilátero ABC no plano, e um ponto P no plano do triângulo ABC, os comprimentos PA, PB e PC formam os lados de um triângulo (talvez, degenerado).

A prova é rápida. Considere-se uma rotação de 60° sobre o ponto C. Assuma-se que A ligue-se a B, e P ligue-se a P '. Então temos P C   =   P ′ C {\displaystyle \scriptstyle PC\ =\ P'C} , e ∠ P C P ′   =   60 ∘ {\displaystyle \scriptstyle \angle PCP'\ =\ 60^{\circ }} . Por isso, o triângulo PCP ' é equiláterio e P P ′   =   P C {\displaystyle \scriptstyle PP'\ =\ PC} . É óbvio que P A   =   P ′ B {\displaystyle \scriptstyle PA\ =\ P'B} . Então o triângulo PBP ' tem lados iguais a PA, PB, e PC e a demonstração por construção está completa.

Referências

  • Pompeiu's Theorem - MathWorld
  • Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117