Teorema do ponto fixo de Banach

Em matemática, o teorema do ponto fixo de Banach, também conhecido como teorema da contração uniforme, é um dos resultados fundamentais em espaços métricos. Ele garante a existência e unicidade de pontos fixos em certas aplicações.

Enunciado

Seja X {\displaystyle \mathbb {X} \,} um espaço métrico completo não vazio com uma métrica d {\displaystyle d\,} .

Uma aplicação f : X → X {\displaystyle f:\mathbb {X} \to \mathbb {X} \,} é dita uma contração uniforme, se existir uma constante 0 ≤ β < 1 {\displaystyle 0\leq \beta <1\,} tal que:

d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ β d ( x , y ) , ∀ x , y ∈ X {\displaystyle d\left(f(x),f(y)\right)\leq \beta d(x,y),\forall x,y\in \mathbb {X} \,}

O teorema estabelece que existe um único ponto fixo x ∗ ∈ X {\displaystyle x^{*}\in \mathbb {X} \,} , ou seja:

f ( x ∗ ) = x ∗ {\displaystyle f(x^{*})=x^{*}\,}

Demonstração da unicidade

Sejam x {\displaystyle x\,} e y {\displaystyle y\,} pontos fixos de f {\displaystyle f\,} , então:

d ( x , y ) = d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ β d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)=d\left(f(x),f(y)\right)\leq \beta d(x,y)}
d ( x , y ) ≤ β d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)\leq \beta d(x,y)}
( 1 − β ) d ( x , y ) ≤ 0 {\displaystyle (1-\beta )d(x,y)\leq 0}

Como 0 ≤ β < 1 {\displaystyle 0\leq \beta <1} , então d ( x , y ) ≤ 0 {\displaystyle d(x,y)\leq 0} . Como sabemos que d ( x , y ) ≥ 0 {\displaystyle d(x,y)\geq 0} , temos d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0} , o que implica x = y {\displaystyle x=y} .

Demonstração da existência

Escolha um ponto qualquer x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {X} \,} e construa a seqüência:

x n + 1 = f ( x n ) , ∀ n ≥ 1 {\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\forall n\geq 1}

Mostraremos que esta é uma sucessão de Cauchy, para tal estime pela desigualdade triangular:

d ( x n + k , x n ) ≤ ∑ j = 1 k − 1 d ( x n + j , x n + j − 1 ) {\displaystyle d(x_{n+k},x_{n})\leq \sum _{j=1}^{k-1}d\left(x_{n+j},x_{n+j-1}\right)}

Agora usando a definição de contração temos:

d ( x n + j , x n + j − 1 ) ≤ β n + j − 1 d ( x 1 , x 0 ) {\displaystyle d(x_{n+j},x_{n+j-1})\leq \beta ^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)}

De forma que:

d ( x n + k , x n ) ≤ ∑ j = 1 k − 1 β n + j − 1 d ( x 1 , x 0 ) ≤ d ( x 1 , x 0 ) β n ∑ j = 1 ∞ β j − 1 {\displaystyle d(x_{n+k},x_{n})\leq \sum _{j=1}^{k-1}\beta ^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)\leq d(x_{1},x_{0})\beta ^{n}\sum _{j=1}^{\infty }\beta ^{j-1}}

d ( x n + k , x n ) ≤ d ( x 1 , x 0 ) β n 1 − β → 0 , n → ∞ {\displaystyle d(x_{n+k},x_{n})\leq d(x_{1},x_{0}){\frac {\beta ^{n}}{1-\beta }}\to 0,n\to \infty }

Assim a x n {\displaystyle x_{n}\,} é uma sucessão de Cauchy e converge para algum ponto x ∗ ∈ X {\displaystyle x^{*}\in \mathbb {X} \,}

Devemos mostrar que x ∗ {\displaystyle x^{*}\,} é, de fato, um ponto fixo. Para tal observe:

x n + 1 = f ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})\,}

Passando ao limite, usando a continuidade de f {\displaystyle f} (o que segue da própria definição de contração), temos:

x ∗ = f ( x ∗ ) {\displaystyle x^{*}=f(x^{*})\,}

E o resultado segue.

Ver também

  • Portal da matemática