Teoria dos conjuntos de Tarski-Grothendieck

A teoria dos conjuntos de Tarski-Grothendieck (TG, assim denominada em referência aos matemáticos Alfred Tarski e Alexander Grothendieck) é uma teoria dos conjuntos axiomática. Também é uma extensão não conservativa da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) e pode ser distinguida de outras teorias dos conjuntos axiomáticas por causa da inclusão do axioma de Tarski, que diz que para cada conjunto existe um universo de Grothendieck a qual pertence. O axioma de Tarski implica na existência de cardinais inacessíveis, fornecendo uma ontologia mais rica do que outras teorias como a ZFC. Por exemplo, adicionar esse axioma dá suporte a teoria das categorias.

O sistema Mizar e Metamath usam a teoria dos conjuntos de Tarski-Grothendieck para verificação formal de provas.

A teoria dos conjuntos de Tarski-Grothendieck começa com a convencional teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel e depois adiciona o axioma de Tarski. Usaremos os axiomas, definições e notação de Mizar para descrevê-los. O processos e objetos básicos de Mizar são completamente formais, e são descrevidos informalmente abaixo. Primeiro, assumiremos que:

Dado um conjunto qualquer ${\displaystyle A}$, o conjunto unitário ${\displaystyle \{A\}}$ existe. Dados dois conjuntos quaisquer, seus pares ordenados e desordenados existem. Para quaisquer famílias de conjuntos, suas uniões existem.

TG utiliza os axiomas a seguir, que são convencionais, por fazerem parte da ZFC:

• Axioma dos conjuntos: Variáveis quantificadas variam apenas sobre conjuntos; tudo é um conjunto (a mesma ontologia da ZFC).
• Axioma da extensionalidade: Dois conjuntos são idênticos se tiverem os mesmos componentes.
• Axioma da regularidade: Nenhum conjunto é membro de si mesmo, e correntes circulares de filiação são impossíveis.
• Esquema axiomático da substituição: Seja o domínio da função ${\displaystyle F}$ o conjunto ${\displaystyle A}$. Então a imagem de ${\displaystyle F}$(os valores de ${\displaystyle F(x)}$ para qualquer ${\displaystyle x}$ pertencente a ${\displaystyle A}$) também é um conjunto.

É o axioma de Tarski que diferencia a TG das outras teorias dos conjuntos. Ele também implica os axiomas do infinito, escolha e o axioma da potência. Também implica a existência de cardinais inacessíveis, graças aos quais a ontologia da TG é muito mais rica do que a de outras teorias dos conjuntos, como a ZFC.

Axioma de Tarski (adaptado de Tarski 1939^[1]).

- Para todo conjunto ${\displaystyle x}$, existe um conjunto ${\displaystyle y}$ cujos membros incluem: - O conjunto ${\displaystyle x}$; - todo subconjunto de cada membro de ${\displaystyle y}$; - o conjunto das partes de cada membro de ${\displaystyle y}$; - cada subconjunto de ${\displaystyle y}$ com cardinalidade menor que ${\displaystyle y}$.

Mais formalmente:

${\displaystyle \forall x\exists y[x\in y\wedge \forall z\in y({\mathcal {P}}(z)\subseteq y\wedge {\mathcal {P}}(z)\in y)\wedge \forall z\in {\mathcal {P}}(y)(\neg z\approx y\to z\in y)]}$

onde "${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$" denota a classe de x ,"${\displaystyle \approx }$" denota a equipotência.O que o axioma de Tarski diz(no vernáculo), é que para cada conjunto ${\displaystyle x}$ existe um universo de Grothendieck para o qual ele pertence.

A linguagem Mizar, usada na implementação da TG, e fornecendo sua sintaxe lógica é tipada e assume-se que os tipos não são vazios. Então, a teoria é implicita e não-vazia. Os axiomas de existência, por exemplo, a existência do par desordenado é implementado indiretamente pela definição dos construtores de termos. O sistema inclui a igualdade, predicados e as seguintes definições padrão:

• Conjunto unitário: Um conjunto com um elemento;
• Par desordenado: Um conjunto com dois elementos distintos.${\displaystyle \{a,b\}=\{b,a\}}$;
• Par ordernado: O conjunto ${\displaystyle \{\{a,b\},\{a\}\}=(a,b)\neq (b,a)}$;
• Subconjunto: O conjunto cujos elementos também são elementos de outros conjuntos;
• União de uma família de conjuntos ${\displaystyle Y}$: O conjunto de todos os elementos de qualquer elemento de ${\displaystyle Y}$.

O sistema Metamath permite lógica de alta ordem arbitrárias, mas é tipicamente usado com as definições “set.mm” de axiomas. O axioma ax-groth adiciona o axioma de Tarski, que é definido da seguinte maneira em Metamath:

⊢ ∃y(x ∈ y ∧ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ∧ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) ∧ ∀z(z ⊆ y → (z ≈ y ∨ z ∈ y)))

• Sistema Mizar
• Metamath
• Universo de Grothendieck
• Axioma da limitação do tamanho

Referências

• Andreas Blass, I.M. Dimitriou, and Benedikt Löwe (2007) "Inaccessible Cardinals without the Axiom of Choice," Fundamenta Mathematicae 194: 179-89.
• Bourbaki, Nicolas (1972). «Univers». In: Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, eds. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963-64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 1 (Lecture notes in mathematics 269) (em French). Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. 185–217  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de editores (link) !CS1 manut: Língua não reconhecida (link)
• Patrick Suppes (1960) Axiomatic Set Theory. Van Nostrand. Dover reprint, 1972.
• Tarski, Alfred (1938). «Über unerreichbare Kardinalzahlen» (PDF). Fundamenta Mathematicae. 30: 68–89 
• Tarski, Alfred (1939). «On the well-ordered subsets of any set» (PDF). Fundamenta Mathematicae. 32: 176–183