Em matemática a transformada de Mellin de uma função[nota 1], definida sobre o eixo realpositivo, é a integral
para a variável complexas, desde que a integral seja convergente.
A transformada é denominada em lembrança ao matemático finlandes Hjalmar Mellin. Na literatura corrente esta transformada é às vezes expressa com um fator normalizante , sendo a função gama.
A transformada de Mellin se relaciona com a transformada de Fourier e com a transformada de Laplace, mediante uma substituição de variáveis conveniente (ver detalhes abaixo).
Sob condições determinadas existe a transformação inversa, e neste caso
Uma série convergente pode ser convertida, por meio da transformada de Mellin, em uma integral ou em uma outra série de convergência mais rápida (ver detalhes abaixo). Assim, a transformada também é útil em aplicações de cálculo numérico puro.
e também apresenta propriedades úteis; a principal delas, a de ser um operador unitário num espaço de Hilbert convenientemente definido. As variáveis ν e β são números complexos adimensionais. Essa transformação é um caso especial da equação (1a) onde a parte real de s (s = α + iβ) é mantida fixa (r = α - 1).
Essa transformação foi estudada inicialmente por Riemann em conexão com a função zeta. O trabalho de Riemann foi estendido posteriormente por Cahen. Mellin foi, entretanto, o primeiro matemático a estudar sistematicamente as propriedades da transformada e de sua inversa.
O interesse de Mellin era a teoria das funções especiais e seu uso na solução da equação diferencial hipergeométrica de Euler. Hoje, a transformada de Mellin encontra aplicações em diversas áreas da Física e da Engenharia, além da Matemática pura (análise complexa) e no cálculo numérico[5].
Em geral, a integral (1a) converge para uma faixa de valores de s tais que . ai e af, por sua vez, dependem da função a ser transformada f(t). Em casos especiais, a assim chamada faixa de definição de F(s) se estende por um semiplano ou para todo o plano complexo. Por exemplo, se f(t) = u(t - a) · tz, onde u(t) é a função degrau unitário, a é um número real e z, um número complexo, F(s) será dada por:
que existe para todo s tal que . Neste exemplo, a faixa de definição de F(s) ocupa um semiplano.[6]
Quanto à integral (1b), as condições para a convergência são as seguintes:
a função s2 · |F(s)| deve ser limitada nessa faixa
Se a função F(s) for definida em diversas faixas disjuntas, haverá uma função f(t) inversa para cada uma dessas faixas. Por isso se diz que a transformada de Mellin de uma dada função f(t) consiste de um par {F(s),S(s)}, sendo S(s) a respectiva faixa de definição. Por exemplo, a função g(t) = [u(t - a) - u(t)] · tz possui a mesma transformada de Mellin F(s) que a função f(t) do exemplo anterior, mas sua faixa de definição é diferente: ela existe para todo s tal que [7].
Unicidade
Para uma dada função f(t), a transformada F(s) é única e dada pela equação (1a). Para um dado par transformada/faixa de definição {F(s),S(s)}, a transformada inversa é única e dada pela equação (1b)[8].
Séries infinitas
A expressão (1a) se aplica também quando f(t) é uma série convergente de termos bk[nota 2], podendo-se escrevê-la então como
Nesse caso, vale a seguinte fórmula de inversão
onde B(s) é a transformada de Mellin da função b(t) = bt e ζ(x) é a função zeta de Riemann[9].
Relação com outras transformadas
A transformada de Mellin pode ser relacionada com a transformada de Laplace por meio da substituição de variáveis t = e-x. Por meio dela, a expressão (1a) se torna
onde o operador denota a transformação de Laplace bilateral. A transformada de Laplace usual, definida apenas no intervalo [0,∞), concorda com a versão bilateral nesse intervalo. Em todas as aplicações práticas, uma escolha adequada da origem garante que a função f(t) analisada tenha suporte limitado a esse intervalo.
Se escrevermos agora a variável s na forma s = α + iβ, F(s) pode ser reescrita como
que é a definição da transformada de Fourier da função g(x) = e- α x · f(e-x). Pode-se então escrever
onde o operador denota a transformação de Fourier[10][11].
Propriedades
Como em toda transformada integral, o operador é linear. Outras propriedades importantes são apresentadas abaixo. Por convenção, F(s) é a transformada de f(t) e G(s), de g(t); a é qualquer número real positivo; b é qualquer número real diferente de 0; k é um inteiro positivo; z é um número complexo qualquer. As faixas de definição são explicitadas apenas quando não evidentes.
Teorema de Parseval
A expressão do teorema de Parseval para a transformada de mellin é um pouco mais complexa do que o é para outras transformadas integrais, devido à potencial existência de diversas faixas de definição. Sejam 2 funções f(t) e g(t) cujas transformadas e faixas de definição são, respectivamente, {F(s),Sf} e {G(s),Sg}. Podemos escrever
[12][13]
Escalamento dos eixos
[14][13]
Potenciação
[14][13]
Diferenciação
[14][13]
Multiplicação por potência
[14][13]
Integração
[14][13]
Derivada de Mellin
De (3c) e (3e) decorre o caso especial bastante útil
[14][13]
o operador é conhecido como a derivada de Mellin.
Coordenadas polares
As expressões (1a) e (1b) se aplicam também quando se usam coordenadas polares. Nesse caso, as seguintes propriedades são úteis para a inversão:
onde r e θ são, respectivamente, o raio vetor e o ângulo polar[15].
Momentos
A transformada de Mellin F(s) pode ser considerada o momento de ordem (s-1) da função f(t) no intervalo [0,). Assim, a área sob a curva f(t) (momento de ordem 0) é dada por F(1), o primeiro momento é dado por F(2), o segundo por F(3) e assim por diante. A abcissa do centroide é dada por [11].
Produto de funções
[11]
Esta última propriedade é muito útil e leva à definição da convolução de Mellin (ver abaixo).
Convolução de Mellin
O teorema da convolução, na forma usual, não se aplica à transformada de Mellin. No entanto, pode-se definir uma outra operação similar, chamada de convolução de Mellin ou convolução multiplicativa de duas funções f(t) e g(t) como
[16]
A faixa de definição da convolução é a interseção das faixas de definição de cada função[13].
Esse operador possui as seguintes propriedades notáveis:
Seja a função f(t) = eat, onde a é um número real positivo. Sua transformada será
A faixa de definição S(s) é dada pelo domínio onde a função gama é holomorfa: [17].
Cálculo de transformada inversa
O cálculo da transformada inversa é mais delicado do que o da transformada direta, por dois motivos: primeiro, a escolha do parâmetro c na equação (1b) deve ser adequada, e segundo, porque pode haver mais de uma faixa de definição da transformada, e é desejável tratar todas elas.
Como exemplo, seja F(s) = Γ(s). A faixa de definição S(s) é tal que . Uma escolha conveniente é c = α, com α > 0. A transformada inversa é dada por inspeção
onde foi usado o resultado do exemplo anterior para a inversão.
Para , a função gama não é holomorfa. No entanto, como os polos da função são todos isolados e localizados em s = -k, sendo k um número natural positivo, pode-se escolher também c = β, com -(k + 1) < β < -k. Neste caso, o percurso de integração não cruzará nenhum polo. Podemos escrever
Essa última integral pode ser calculada por meio do teorema dos resíduos. Para isso, escolhe-se a curva fechada Ω composta pelos segmentos {s = β},{s = i∞},{s = α} e {s = -i∞}. Essa curva delimita todos os polos da função Γ(s) (e, portanto, todos os polos do integrando Γ(s)·t-s) entre 0 e β. O valor da integral de linha, percorrendo-se Ω no sentido positivo (neste caso, o sentido anti-horário), de acordo com o teorema, será:
Pela expressão, vemos que L é uma função de k também, portanto devemos escrever L(k,t). Como a integral sobre os segmentos horizontais {s = i∞} e {s = -i∞} deve ser nula, podemos escrever
A função g(t) será diferente para cada valor de k escolhido, mas uma transformada inversa poderá ser obtida para todo o plano complexo[18].
Os dois exemplos acima ilustram duas formas de obter-se a transformada inversa: por inspeção e por integração direta; neste último caso, empregou-se o teorema dos resíduos, o que é bastante comum. Também é usual trabalhar-se com as propriedades da transformada de forma a fazer a função F(s) coincidir com formas bem conhecidas e tabeladas, um método que também se aplica na inversão de outras transformações. A propriedade mais notável da transformada de Mellin é provavelmente aquela expressa por (3i). Segue-se um exemplo de aplicação dessa propriedade.
Seja F(s) = s · Γ(s). Por simplicidade, atenhamo-nos à faixa de definição S(s) tal que . Podemos escolher uma função G(s) = Γ(s), cuja transformada inversa é conhecida g(t) = e-t. Aplicando a propriedade (3i), temos
A propriedade (3e) pode ser usada de forma similar[19].
Finalmente, o método de Marichev baseia-se na reescrita da função a ser invertida F(s) na forma:
onde A, Bn, Cn, Dn e En são constantes complexas, e depois aplicar a fórmula de Slater para o cálculo da transformada inversa. Mais informações podem ser obtidas em Marichev (1982)[bib. sup. 1][20].
Cálculo de série infinita
Seja a série cujos coeficientes bk são dados por
A expressão (1d), juntamente com as propriedades (3i), pode ser usada para calcular a série
Com auxílio da tabela e das propriedades da transformada, temos
Com o auxílio da propriedade da função zeta
temos
A integral pode ser calculada por meio do teorema dos resíduos, lembrando que a função zeta possui apenas um polo em x = 1, com resíduo igual a 1. O resultado será
[21].
Solução da equação diferencial de Laplace
Setor circular (cunha) de abertura θ e raio r.
A solução equação de Laplace bidimensional em uma cunha (setor circular) infinita, sujeita às condições de contorno de Dirichlet, pode ser obtida por meio da transformada de Mellin. Com referência à figura ao lado, sejam usadas as coordenadas polares ρ e φ; a cunha tem centro na origem e tamanho r infinito; portanto, 0 ≤ ρ < ∞ e -½θ ≤ φ ≤ ½θ. O problema pode ser expresso por
onde v0 é uma constante real, u(x) é a função degrau unitário e ∇2 é o operador Laplaciano. Em coordenadas polares, teremos
Aplicando a propriedade (3i) e considerando a transformada com relação á variável ρ, temos
Aplicando a transformada de Mellin às condições de contorno, temos
Combinando as duas últimas expressões, obtém-se
O que leva, após algumas simplificações, a
A faixa de definição de V(s, φ) é S(s, φ) tal que [22].
Após a inversão, com auxilio da tabela, obtém-se v(ρ, φ).
Solução de equação integral
Uma equação integral de Fredholm do primeiro tipo tem a forma geral
onde 'f(x) e k(x,y) são conhecidas e φ(x) deve ser encontrada. Se k(x,y) puder ser escrita como k(xy) e escrevermos φ(x) na forma
onde h(xy) é outra função a ser encontrada, então teremos, pela propriedade (3m), que K(s)·H(1 - s) = 1, o que permite encontrar h(xy) pela transformada inversa e daí obter f(x) pela equação acima[11].
Transformada dual de Mellin
Relação com a transformada de Mellin
[13]
Transformada inversa
[23][13]
Teorema de Parseval
onde * denota o conjugado complexo[23][13].
Convolução
onde * denota uma convolução e a operação é chamada de produto invariante[24][13].
Escalamento
Essa forma específica de escalamento é conhecida como dilatação e é denotada pelo operador , quando se deseja brevidade[23][13].
Multiplicação por potência
[13]
Diferenciação dual de Mellin
O operador é frequentemente denotado como [23][13].
Convolução de Mellin
[24]
Propriedades da dilatação
A propriedade mais importante da transformada dual de Mellin é aquela expressa por (5c). As dilatações no espaço L2 formam um grupo e possuem as seguintes propriedades:
Devido à propriedade (5a), pode-se definir um produto interno entre funções
que é invariante em relação às dilatações, isto é
O caso especial de (5h) onde g(ν) = f(ν) define a norma
do espaço de Hilbert onde o operador é unitário. Tal espaço é similar ao espaço L2, mas possui a métrica padrão
e será denotado aqui por L2(IR+,ν2r+1 dν)[23].
O produto invariante também se comporta de maneira similar ao produto interno com relação às dilatações
Outra propriedade notável se relaciona com a convolução de Mellin
[24]
Propriedades do operador
O operador que aparece na expressão (5e) é equivalente a
e é um operador auto-adjunto (ou Hermitiano)[nota 3]. A operação "inversa" de (5n) permite obter a dilatação a partir de por meio do teorema de Stone
As soluções da equação diferencial
são as autofunções εβ(ν) que constituem uma base ortonormal no espaço L2(IR+,ν2r+1)
Assim, uma interpretação da equação (1c) é que a função f(t) pode ser representada no espaço L2(IR+,ν2r+1) por uma soma infinita de funções εβ(ν), com coeficientes dados por , que são os autovalores da equação (5p)[23].
Comparação com a transformada de Fourier
A transformada de Fourier possui a propriedade
que é análoga à equação (5o). Ou seja, a transformada dual de Mellin se comporta com relação às dilatações em L2(IR+,ν2r+1) da mesma forma que a transformada de Fourier se comporta com relação às translações no espaço L2: ambas sofrem um deslocamento de fase[23].
Da mesma forma que uma função e sua transformada de Fourier apresentam uma relação de incerteza ou relação de dispersão dada por
[nota 4]
onde σt e σω são o desvio padrão dos valores de f(t) e de F(ω), respectivamente, no intervalo (-∞,∞), para uma função f(ν) e sua transformada dual de Mellin vale a mesma relação no intervalo [0,∞)[25].
Pente de Dirac
A transformada dual de Mellin do pente de Dirac é dada por
onde comb(x) é o pente aritmético de Dirac e Δar(x), o pente geométrico.
O pente geométrico de Dirac possui ainda a propriedade notável de ser invariante com relação às dilatações
[26]
Interpretação física da variável β
Como visto anteriormente, a transformada de Mellin pode ser considerada a decomposição da função original f(ν) em autofunções da forma
Essas funções, quando consideradas como filtros aos quais é aplicado um sinal de entrada, apresentam um atraso de grupo τg dado por
onde a função φ(ν) é a fase do sinal de saída. Podemos reescrever (5q) na forma canônica A·eiφ, onde A é a amplitude do sinal
e o atraso de grupo será
A variável β pode então ser interpretada, no domínio da frequência, como a razão entre o atraso de grupo apresentado por um filtro e o período do sinal de entrada[27].
Notas
↑A transformada de Mellin também pode ser aplicada a distribuições, que são generalizações das funções, bem como a séries convergentes. Neste verbete, o termo "função" se refere tanto a funções comuns quanto a funções generalizadas.
↑Isso permite seu uso em problemas de tempo discreto, como acontece com outras transformações integrais.
↑O operador foi introduzido apenas para concisão da notação e não tem nenhum significado especial.
Referências
↑M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1998, ISBN 3-540-63744-3
↑R. Remmert, Funktionentheorie I, Springer-Verlag, Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1989, ISBN 3-540-51238-1
↑E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3ª edição 1986, ISBN 978-0828403245
↑D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag : Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1981, ISBN 3-540-10603-0
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - The Mellin Transformin A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 11, pp. 953 a 954
↑ abJ. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 971 a 982
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 957 a 958
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 961
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 971
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág 956
↑ abcdBracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 978-0-1381-4757-0, Cap. 13, pp. 343 a 347
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 959
↑ abcdefghijklmnopqrstuvJ. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 1013 a 1014
↑ abcdefJ. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 964 a 966
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág 970
↑ abcdefgJ. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 966 a 968
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág 955
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 958 a 959
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 968 a 969
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 969 a 970
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↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 1005 a 1006
Bibliografia suplementar
↑O. Marichev - Handbook of Integral Transforms of Higher Transcendental Functions: Theory and Algorithmic Tables, 1982, Ellis Horwood