Em Matemática, o valor principal de Cauchy, denominado a partir de Augustin Louis Cauchy, é um método de atribuir valores a certas integrais impróprias indeterminadas. O valor principal de Cauchy assume um papel fundamental no estudo das Transformadas de Hilbert.[1]
Nomenclatura
O valor principal de Cauchy admite diversas notações diferente na literatura variando conforme autores:
P.V.
![{\displaystyle (CPV).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d37781ee841110f9b2e804f3271114a32ef1e36)
O valor principal de Cauchy é definido conforme o tipo de singularidade do integrando f:
- Se b é uma singularidade isolada no intervalo (a,c), então define-se o valor princiapal de Cauchy em torno de b como:
![{\displaystyle PV\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left[\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543941844fbdfc9aa50933c54ed0ef64672d2407)
sempre que este limite existe e é finito mesmo que a integral imprópria associada não existe, isto é, quando o limite duplo
não existe.
- Se f é integrável em cada intervalo finito [-a,a], então
![{\displaystyle PV\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33864cf4dc80e291f88ffed7ae408f887ff0877c)
sempre que este limite simétrico existe e é finito, mesmo quando a integral imprópria associada não existe, isto é, quando o limite duplo
não existe.
- ou
- Em termos de integrais de contorno de uma função complexa f(z); z = x + iy, com um polo no contorno. Seja L(ε) a porção do contorno L fora do cículo de centro no polo e raio ε. O valor principal de Cauchy é definido como:[2]
![{\displaystyle \mathrm {P} \int _{L}f(z)\ \mathrm {d} z=\int _{L}^{*}f(z)\ \mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{L(\varepsilon )}f(z)\ \mathrm {d} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/431e1bd24f921801d5f9231b63c8b7d38ba20de4)
- onde as duas notações comuns para o valor principal de Cauchy estão presentes no lado esquerdo desta expressão.
Exemplos
Considere o diferente comportamento dos seguintes limites:
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba871ceb9781be1758bcbfd6b72ec3114fef29c5)
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9926a0f4bcdba551091895f23bd0508cbe07d8)
O primeiro é o valor principal de Cauchy de
que constitui uma integral imprópria mal definida.
Similarmente, temos
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f44306f940ae9218a5d4bafc3b085a859d26309)
mas
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554107945f73dc82a04d9afdfadcb43fa3356ded)
O primeiro é o valor principal de Cauchy de
que constitui uma integral imprópria mal definida.
Teoria das distribuições
Seja
o espaço das funções suaves de suporte compacto na reta real
. Então o funcional
![{\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4110136abd8b3e4f375c47b9517a2b13d39b0d5)
definido via Valor Principal de Cauchy como
![{\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ;\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad \forall u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925824c062a9e245e9e9fb8cb5c094370ed96374)
é uma distribuição. Esta distribuição é um exemplo de distribuição que não pode ser expressa como uma função real ou medida de Radon[3] aparece, por exemplo, na transformada de Fourier distribucional da função de Heaviside.[4]
Este limite está bem definido não apenas para funções suaves de suporte compacto: basta que
seja integrável, com suporte compacto e diferenciável na origem.
Esta distribuição é a inversa da função
e é quase a única com esta propriedade, isto é:
![{\displaystyle xf=1\quad \Rightarrow \quad f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c01b8122310907bd27c8f3cb317c6987a98ee9)
onde
é uma constante e
distribuição delta de Dirac.
O conceito de valor principal de Cauchy pode ser generalizado para uma classe maior de núcleo integrais singulares, no espaço euclidiano
. Se
tem uma singularidade isolada na origem, mas é localmente integrável fora da origem, então a distribuição valor principal é definida nas funções suaves de suporte compacto como
![{\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon (0)}}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e427b19d283df4c6da9d082fe2ba5164c12fad3)
Este limite pode não estar bem definido e mesmo que esteja bem definido pode não representar uma distribuição Ele está, no entanto, bem definido se
é uma função homogênea de grau
cuja integral sobre qualquer esfera centrada na origem é nula. Este é o caso, por exemplo, das transformadas de Riesz.
Referências
- ↑ Estrada, Ricardo; Kanwal, Ram (2000). Singular Integral Equations. [S.l.]: Birkhauser. ISBN 978-1461271239 A referência emprega parâmetros obsoletos
|coautor=
(ajuda) - ↑ Ram P. Kanwal (1996). Linear Integral Equations: theory and technique 2nd Edition ed. Boston: Birkhäuser. p. 191. ISBN 0-8176-3940-3
- ↑ Terence Tao (19 de abril de 2009). «245C, Notes 3: Distributions». Consultado em 8 de julho de 2014
- ↑ Hsu, Hwein (1967). Outline of Fourier Analysis. Nova Iorque: Associated Educational Services Corp. p. 141