Formă simplectică

În geometria diferențială, peste un spațiu fibrat vectorial real ${\displaystyle E\rightarrow P\,}$, forma simplectică ${\displaystyle \omega \,}$ este dată de o familie de forme biliniare nedegenerate ${\displaystyle \omega _{x}\,}$ peste spațiul fibrat ${\displaystyle E_{x}\,}$, punctul ${\displaystyle x\in P\,}$ apaținând lui ${\displaystyle C^{\infty }}$. Mai riguros, o formă simplectică este o secțiune globală ${\displaystyle x\mapsto \omega _{x}\,}$ de ${\displaystyle E^{*}\wedge E^{*}\rightarrow P\,}$, care este în toate punctele nedegenerată.

Totuși, peste o mulțime diferențiabilă ${\displaystyle M\,}$, o formă simplectică ${\displaystyle \omega \,}$ este o o formă diferențiabilă de ordinul 2 nedegenerată și închisă. Mai explicit, impunem condițiile următoare:

• Forma ${\displaystyle \omega \,}$ este nedegenerată dacă în toate punctele ${\displaystyle x\,}$, forma biliniară antisimetrică ${\displaystyle \omega _{x}\,}$ este nedegenerată.
• Forma ${\displaystyle \omega \,}$ este închisă, în sensul lui : ${\displaystyle d\omega \,}$.

În particular, ${\displaystyle (TM,\omega )\,}$ este un spațiu fibrat simplectic, dar definiția unei forme simplectice nu se limitează doar la acestă simplă proprietate. Condiția de închidere implică unicitatea ei locală furnizată de teorema lui Darboux.

• Dacă ${\displaystyle F\rightarrow P\,}$ este un spațiu fibrat vectorial, atunci există o formă simplectică pe spațiul fibrat vectorial ${\displaystyle E=F\oplus F^{*}\,}$ dat de:

${\displaystyle \omega \left[f_{1}\oplus f_{1}^{*},f_{2}\oplus f_{2}^{*}\right]=f_{1}^{*}(f_{2})-f_{2}^{*}(f_{1})}$

Acest prim exemplu arată naturalețea formelor simplectice. Contrar metricii riemanniene, existența lor nu este bine înțeleasă, dar cel puțin au venit în mod natural.

• Dacă ${\displaystyle (M,\omega )\,}$ este o mulțime simplectică de dimensiune ${\displaystyle 2n\,}$, iar ${\displaystyle P\,}$ este o submulțime diferențiabilă din ${\displaystyle M\,}$, atunci:
  • Spațiul fibrat tangent la ${\displaystyle M\,}$ este limitat la un spațiu fibrat de rang ${\displaystyle 2n\,}$ peste ${\displaystyle P\,}$, notat ${\displaystyle T_{P}M\rightarrow P\,}$, iar ${\displaystyle (T_{P}M,\omega )\,}$ este un spațiu fibrat simplectic.
  • Dacă în toate punctele x ale lui P, forma biliniară ${\displaystyle \omega _{x}\,}$ este nedegenerată cu restricția la spațiul tangent ${\displaystyle T_{x}P\,}$, atunci, ${\displaystyle \iota ^{*}\omega \,}$ este o formă simplectică asupra lui P.

Existența formelor simplectice pe o mulțime diferențiabilă este încă o problemă deschisă.

Portal Matematică