Funcție periodică

O funcție periodică este o funcție cu valori care se repetă pe intervale ale domeniului de definiție. Exemple cunoscute sunt funcțiile trigonometrice sinus, cosinus, tangentă, etc.

1. Definiție: Fie ${\displaystyle {\mathcal {F}}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,}$ o funcție și fie F mulțimea tuturor numerelor reale pozitive t pentru care :${\displaystyle {\mathcal {F}}(x+t)={\mathcal {F}}(x)}$ pentru orice x din ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$. Elementele mulțimii F se numesc perioade ale funcției ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Dacă marginea inferioară a numerelor din F (inf F)aparține lui F atunci această margine se numește perioada principală a funcției ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ .

2. Propoziție: Dacă ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ este periodică și are perioada principală T1 atunci ${\displaystyle {\mathcal {F}}(ax)}$,a fiind un numar real pozitiv diferit de zero,este periodică de perioadă principală T=T1/a.

3. Grafic: Graficul unei funcții periodice se trasează mai intai în intervalul [ 0, T ]de lungime egală cu perioada principală T a funcției. Graficul se extinde apoi și pe intervalele [ T, 2T ]etc. prin deplasarea oricărui punct M(x,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(x))paralel cu axa (ox),în punctul M'(x+T,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(x)).Dacă T este perioada principală a funcției ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ atunci funcția ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ admite și perioada KT,unde k este din ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$ ,K pozitiv.Demonstrația se face prin inducție matematică.

4.Teoremă: Dacă ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ și${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ sunt funcții periodice de perioade principale T și S și dacă T și S sunt numere întregi pozitive, atunci suma ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ +${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ este periodică și admite ca perioadă pe cel mai mic multiplu comun al perioadelor T și S.

• Gheorghe Rizescu, Eugenia Rizescu: "Teme pentru cercurile de matematică din licee", Editura Didactică și Pedagogică, București, 1977.