Un inel
este o structură algebrică formată dintr-o mulțime suport
și două operații binare, definite pe produsul cartezian
cu valori în
, numite convențional
(sau operația aditivă) și
(sau operația multiplicativă), astfel încât:
formează un grup comutativ sau abelian. Elementul neutru al lui
se notează în general cu
.
formează un monoid. - Se îndeplinește proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare, adică pentru orice
:
![{\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766b0c4db887e79e8cfa9b4ec5b9acc192dbd36e)
![{\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0b0bfaa89ce127a4c0c51b8adfba6105b67c7d)
Termenul a fost introdus în 1897 de David Hilbert.[1]
Definiții
Dacă operația de înmulțire este comutativă, adică
atunci inelul
este un inel comutativ.
Dacă
și înmulțirea admite element neutru, adică
atunci inelul
este inel cu unitate sau inel unitar.
Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero se numește inel integru (sau domeniu de integritate).[2]
Un inel în care orice element (în afară de
) are invers față de înmulțire se numește corp.
Elementul neutru în raport cu operația
se notează
și se numește elementul nul, iar simetricul lui
în raport cu adunarea se notează
și se numește opusul lui
. În loc de
, vom nota
.
Dacă
este inel unitar, atunci elementele lui
simetrizabile în raport cu operația multiplicativă se numesc elemente inversabile .
Se notează cu
mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar
, adică
![{\displaystyle U(A)=\{x\in A|\exists \ x^{,}\in A,x*\ x^{,}=\ x^{,}*x=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309b9d27228a30aff8de5e9fe0bd8a3ebd105d14)
Fie
un inel. Două elemente
se numesc permutabile dacă
. Un element
se numește element central dacă el permută cu orice element din inelul
. Mulțimea
![{\displaystyle C(A):=\{a\in A|a*x=x*a,\forall x\in A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1971c2cf6fdac7cc97f246e50abdf30639a224)
a tuturor elementelor centrale din
se numește centrul inelului
.
Exemple de inele
- Inelul numerelor întregi
este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1, iar
.
- Inelul numerelor raționale
este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus
.
- Inelul numerelor reale
este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus
.
- Inelul numerelor complexe
este inel comutativ cu
.
- Inelul
al claselor de resturi modulo n.
este inel comutativ, iar
.
Proprietăți
Fie
un inel. Atunci pentru
, avem:
![{\displaystyle x*0=0*x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53848b00e6f6318bbcb9eefe8fbf8e1c8f1b2f53)
![{\displaystyle (-x)*y=x*(-y)=-x*y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772bc1b9558afb05795343d48ab42e1cb44355a2)
![{\displaystyle (-x)*(-y)=x*y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619740d4d28d3d6c23d17d688186d133f17c4fcb)
și ![{\displaystyle (y-z)*x=y*x-z*x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe2f68cc44951d168ba5e2d29a9f07351f4885a)
- Dacă
este inel cu unitate, atunci ![{\displaystyle (-1)*x=-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64f0f0b0a2fc8d47bde6e3d283862bd6257dbaf)
- Dacă
,atunci definim
și
. Pentru
, avem
.
Note
- ^ Math93, Une histoire des Mathématiques
- ^ Ioan Purdea, Gheorghe Pic, Tratat de algebră modernă, Vol. 1, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1977, p. 219
Bibliografie
- Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
- Vasile Popuța, Algebră. Curs elementar de structuri fundamentale, Editura Mirton, Timișoara, 1998.
Vezi și