Modul factor
În algebră, fiind date un modul(d) și un submodul, se poate construi modulul factor al acestora.[1][2][3] Această construcție, descrisă mai jos, este foarte asemănătoare cu cea a unui spațiu factor(d) vectorial.[4] Diferă de construcțiile factor analoage ale inelelor și grupurilor prin faptul că în aceste cazuri subspațiul(d) care este utilizat pentru definirea factorului nu este de aceeași natură cu spațiul ambiental (adică un inel factor este câtul unui inel printr-un ideal, nu printr-un subinel, iar un grup factor este câtul unui grup printr-un subgrup normal, nu printr-un subgrup general). Fiind dat un modul A peste un inel R și un submodul B al lui A, spațiul factor(d) A/B este definit de relația de echivalență
pentru orice a, b din A.[5] Elementele lui A/B sunt clasele de echivalență(d) Funcția care trimite a din A cu clasa sa de echivalență a + B se numește aplicația factor sau aplicația de proiecție și este un homomorfism de module(d).
Adunarea pe A/B este definită pentru două clase de echivalență drept clasa de echivalență a sumei a doi reprezentanți din aceste clase. Și înmulțirea scalară a elementelor lui A/B cu elementele lui R este definită similar. De reținut că trebuie arătat că aceste operații sunt bine definite. Atunci A/B devine în sine un R-modul, numit modul factor. În simboluri, pentru orice a, b din A și r din R:
Exemple
Fie inelul de polinoame(d), cu coeficienți reali și . Fie submodulul
al lui A, adică submodulul tuturor polinoamelor divizibile cu . Rezultă că relația de echivalență determinată de acest modul va fi
- dacă și numai dacă și dau același rest la împărțirea cu
Prin urmare, în modulul factor este la fel ca 0; astfel încât se poate privi așa cum este obținut din punând Acest modul factor este izomorf în numerele complexe privit ca un modul peste numerele reale
Note
- ^ Dumitru Bușneag, Dana Piciu, Lecții de algebră: 5. Teoria categoriilor, Craiova, Ed. Universitaria, 2002, ISBN: 973-8043-109-8, p. 90
- ^ en Dummit, David S.; Foote, Richard M. (). Abstract Algebra (ed. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
- ^ en Lang, Serge (). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
- ^ Roman, 2008, p. 117
- ^ Roman, 2008, p. 118, Theorem 4.7
Bibliografie
- en Roman, Steven (). Advanced linear algebra (ed. 3rd). New York: Springer Science + Business Media. ISBN 978-0-387-72828-5.
![]() | Portal Matematică |