Principiul contracției

Principiul contracției

Fie ${\displaystyle (S,d)}$ un spațiu metric complet. Aplicația ${\displaystyle f:S\longrightarrow S}$ este o contracție a lui S dacă există ${\displaystyle q\in (0,1)}$, numit coeficient de contracție, astfel încât:

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq qd(x,y)(\forall )x,y\in S\ (1.1)}$

Punctul ${\displaystyle c\in S}$ se numește punct fix al aplicației ${\displaystyle f:S\longrightarrow S}$ dacă avem: ${\displaystyle f(c)=c.\ (1.2)}$

Fie ${\displaystyle a_{0}\in S}$ fixat și fie șirul de puncte ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ din S definit succesiv prin:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}a_{1}=f(a_{0})\\a_{2}=f(a_{1})\\...................\\a_{n}=f(a_{n-1})\end{array}}\right.\;}$

Știind că S este un spațiu metric complet pentru a arăta că șirul ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ definit prin (1.3) este convergent în S este suficient să arătăm că acest șir este fundamental în S. Deoarece f este o contracție a lui S, avem succesiv:

${\displaystyle d(a_{1},a_{2})=d(f(a_{0}),f(a_{1})\leq qd(a_{0},a_{1})}$

${\displaystyle d(a_{2},a_{3})=d(f(a_{1}),f(a_{2})\leq qd(a_{1},a_{2})\leq q^{2}d(a_{0},a_{1})}$

${\displaystyle d(a_{3},a_{4})=d(f(a_{2}),f(a_{3})\leq qd(a_{2},a_{3})\leq q^{3}d(a_{0},a_{1})}$

Prin inducție se obține:

${\displaystyle d(a_{n},a_{n+1})\leq q^{n}d(a_{0},a_{1}),(\forall )n\in \mathbb {N} ,q\in (0,1).}$   (1.4)

Pe de altă parte, pentru orice ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$, avem

${\displaystyle d(a_{n},a_{n+p})\leq d(a_{n},a_{n+1}+d(a_{n+1},a_{n+2})+...d(+a_{n+p-1},a_{n+p})}$

și folosind corespunzător inegalitatea (1.4) se obține:

${\displaystyle d(a_{n},a_{n+p})\leq q^{n}d(a_{0},a_{1})+q^{n+1}d(a_{0},a_{1})+...+q^{n+p-1}d(a_{0},a_{1})=}$

${\displaystyle =q^{n}d(a_{0},a_{1})(1+q+q^{2}+...+q^{n-1})=q^{n}d(a_{0},a_{1}){\frac {q^{p}-1}{q-1}}=}$

${\displaystyle =q^{n}d(a_{0},a_{1}){\frac {1-q^{p}}{1-q}}\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(a_{0},a_{1}).}$

Deci:

${\displaystyle d(a_{p},a_{n+p})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(a_{0},a_{1}),(\forall )n\in \mathbb {N} ,(\forall )p\in \mathbb {N} ,q\in (0,1).}$   (1.5)

Presupunem că ${\displaystyle d(a_{0},a_{1})\neq 0}$. Deoarece ${\displaystyle q\in (0,1)\Rightarrow {\frac {q^{n}}{1-q}}d(a_{0},a_{1})\rightarrow 0\in \mathbb {R} }$, ceea ce implică:

${\displaystyle ((\forall )\varepsilon >0,(\exists )N(\varepsilon )}$,   (1.6)

astfel încât ${\displaystyle (\forall )n>N(\varepsilon )}$ și ${\displaystyle (\forall )p\in \mathbb {N} \Rightarrow d(a_{n},a_{n+p})<\varepsilon }$ și aratăm că șirul de puncte ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ este un șir fundamental în spațiul metric complet S și in consecință este convergent în S. În acest caz notăm ${\displaystyle c=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$; ${\displaystyle c\in S(a_{0}\longrightarrow c}$) în S.

În acest caz notăm: ${\displaystyle c=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$; ${\displaystyle c\in S}$ (${\displaystyle a_{0}\rightarrow c}$ în S). Să arătăm că c este punctul fix al contracției f.
Deoarece ${\displaystyle a_{n}\rightarrow c}$ în S, rezultă că pentru orice ${\displaystyle \varepsilon >0}$, există un rang ${\displaystyle x(\varepsilon )>o}$, astfel încât dacă ${\displaystyle n>N(\varepsilon )}$, atunci ${\displaystyle d(a_{0},c)<\varepsilon }$.

Observând și inegalitatea evidentă ${\displaystyle d(f(a_{0}),f(c))\leq d(a_{0},c)}$, datorită contracției f, se obține: ${\displaystyle d(f(a),f(c))<\varepsilon ,(\forall )n>N(\varepsilon ))}$ care arată că ${\displaystyle f(a_{0})\rightarrow f(c)}$ în S și care implică : ${\displaystyle a_{n+1}\rightarrow f(c)}$ în S. Dar avem și ${\displaystyle a_{n+1}\rightarrow c}$ în S și cum S este spațiu metric (unde limita unui șir convergent este unică rezultă egalitatea ${\displaystyle f(c)=c}$, adică ${\displaystyle c\in S}$ este punct fix al contracției f.

Să arătăm acum unicitatea lui c. Presupunem că mai există ${\displaystyle c_{1}\in S}$, astfel încât ${\displaystyle f(c_{1})=c_{1}}$. În acest caz avem ${\displaystyle d(c,c_{1})=d(f(c),f(c_{1}))\leq qd(c,c_{1}).}$

Rezultă ${\displaystyle (1-q)d(c,c_{1})\leq 0,q\in (0,1)}$, care implică ${\displaystyle d(c,c_{1})=0}$ și deci ${\displaystyle c_{1}=c}$. Am arătat că punctul fix al contracției este unic.

${\displaystyle d(a_{2},a_{3})=d(f(a_{1}),f(a_{2}))\leq qd(a_{1},a_{2})\leq q^{2}d(a_{0},a_{1})}$

Bibliografie

G. Tătar, Calcul diferențial și integral, Ed. Economică, București, 2002.