Spațiu măsurabil

În matematică, un spațiu măsurabil sau spațiu Borel^[1] este un obiect de bază în teoria măsurii. Este format dintr-o mulțime și o σ-algebră, care definește submulțimile ce vor fi măsurate.

Captează și generalizează noțiuni intuitive precum lungimea, aria și volumul cu o mulțime ${\displaystyle X}$ de „puncte” în spațiu, însă regiunile spațiului sunt elementele σ-algebrei, deoarece măsurile intuitive nu sunt de obicei definite pentru puncte. Algebra surprinde, de asemenea, relațiile care ar putea fi așteptate de la regiuni: că o regiune poate fi definită ca o intersecție a altor regiuni, o reuniune a altor regiuni, sau spațiul cu excepția unei alte regiuni.

Se consideră o mulțime ${\displaystyle X}$ și o σ-algebră ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ pe ${\displaystyle X.}$ Atunci perechea ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ se numește spațiu măsurabil.^[2]

De remarcat că, spre deosebire de un spațiu cu măsură, nu este necesară nicio măsură pentru un spațiu măsurabil.

Fie mulțimea $${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$$ O posibilă ${\displaystyle \sigma }$-algebră ar fi: $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.}$$ Atunci ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)}$ este un spațiu măsurabil. O altă ${\displaystyle \sigma }$-algebră posibilă ar fi mulțimea părților lui ${\displaystyle X}$: $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$$ Cu aceasta, un al doilea spațiu măsurabil pe mulțimea ${\displaystyle X}$ este dat de ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right).}$

Dacă ${\displaystyle X}$ este mulțime finită sau infinit numărabilă, ${\displaystyle \sigma }$-algebra este cel mai adesea mulțimea părților lui ${\displaystyle X,}$ deci ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).}$ Aceasta conduce la spațiul măsurabil ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X)).}$

Dacă ${\displaystyle X}$ este un spațiu topologic, ${\displaystyle \sigma }$-algebra este cel mai adesea ${\displaystyle \sigma }$-algebra Borel ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ deci ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).}$ Aceasta conduce la spațiul măsurabil ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$ care este comun pentru toate spațiile topologice, cum ar fi numerele reale ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Termenul de spațiu Borel este folosit pentru diferite tipuri de spații măsurabile. Se poate referi la

• orice spațiu măsurabil, deci este un sinonim pentru un spațiu măsurabil așa cum este definit mai sus^[1]
• un spațiu măsurabil care este Borel izomorf cu o submulțime măsurabilă a numerelor reale (din nou cu ${\displaystyle \sigma }$-algebra Borel)^[3]

• Mulțime Borel – Clasă de mulțimi matematice
• Funcție măsurabilă – Funcție pentru care preimaginea unei mulțimi măsurabile este măsurabilă
• Măsură – Generalizarea masei, lungimii, ariei și volumului
• Spațiu Borel standard – Construcție matematică în topologie
• Categorie de spații măsurabile