Теоре́ма Ги́льберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа.
Мультипликативная форма
Пусть
— группа Галуа конечного циклического расширения
а
- её образующая. Тогда норма любого элемента
равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент
, что
Доказательство
Достаточность очевидна: если
то, учитывая мультипликативность нормы, имеем
Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех
а применение
к такому произведению приводит лишь к перестановке сомножителей, то
Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:
![{\displaystyle \mathrm {id} +\beta \sigma +\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{n-2}(\beta )\sigma ^{n-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23b9581a9a0b1176f8969709ae0d1432c9e2262)
Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является нулевым. Поэтому существует элемент
для которого
![{\displaystyle 0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma )+\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{n-2}(\beta )\sigma ^{n-1}(\gamma ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6fc6a7989d39f379c82c5a4a68a31fba9dc8dd)
Если применить отображение
к
а потом помножить полученное выражение на
то первое слагаемое перейдёт во второе и т. д., а последнее перейдёт в первое, так как
Тогда получаем, что
деля на
имеем
Необходимость доказана.
Аддитивная форма
Пусть
— группа Галуа конечного циклического расширения
а
- её образующая. Тогда след элемента
равен 0 тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой элемент
что
Доказательство достаточности полностью аналогично мультипликативному случаю, а для необходимости рассматриваем элемент
для которого
и строим требуемое
в виде:
![{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\mathrm {tr} \gamma }}[\beta \sigma (\gamma )+(\beta +\sigma (\beta ))\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma ^{n-2}(\beta ))\sigma ^{n-1}(\gamma )|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f538c06bebb337b0c140e5c2b5d5532da4e0ca1)
Литература
| В Викитеке есть тексты по теме: «David Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Erster Band, Kapitel 7, Satz 90» |
- Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967. — С. 243-244.
См. также