U matematici, aritmetička progresija ili aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika između bilo koja dva susjedna člana niza konstantna. Na primjer, niz 3, 5, 7, 9, 11, 13... je aritmetička progresija sa razlikom 2.
Ako je prvi član aritmetičke progresije
, a razlika između članova iznosi d, tada je n-ti član niza dat sa:
![{\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/975bf6adaef9f993d58e2e6a18de1e4468f5147c)
a općenitija forma je:
![{\displaystyle \ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaddf0d177562dc21a9ad9352d2bfa8c12c9dafa)
Primjeri
- Među aritmetičkim progresijama najpoznatiji je niz prirodnih brojeva:
![{\displaystyle 1,2,3,4,5...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf9f94ee0cd136dfdedfc92ad625ed362f0a6ae)
- Niz parnih brojeva
![{\displaystyle 2,4,6,8,10...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ff26985592418e5fd8debdc54eecf0b82a97cb)
- Niz neparnih brojeva
![{\displaystyle 1,3,5,7,11...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35a04ef95621a894d10c0729905cef117277779)
Aritmetička progresija jednoznačno je određena svojim početnim članom i razlikom.
Ako je početni član 7, a razlika 3, onda je riječ o aritmetičkooj progresiji
- Niz kvadrata prirodnih brojeva
tj. niz
nije aritmetička progresija
Tu su razlike među susjednim članovima redom
. Razlike čine aritmetičku progresiju.
Već smo spomenuli da niz prirodnih brojeva čine dva niza:
- niz parnih brojeva i
- niz neparnih brojeva.
Često nulu uvrštavamo u prirodne brojeva, tako da je niz parnih brojeva
, što se kraće može zapisati formulom
, a niz parnih brojeva oznakom
, a sa
niz neparnih brojeva.
Parni brojevi su oni koji su djeljivi brojem 2, a neparni oni koji pri dijeljenju brojem 2 imaju ostatak 1.
Slično bismo mogli gledati podjelu s obzirom na djeljivost brojem 4, gdje ostaci mogu biti 0 (djeljivost brojem 4), 1, 2 ili 3.
(0) Djeljivi brojem 4:
Zapis
(I) Ostatak 1 pri dijeljenju brojem 4:
Zapis
(II) Ostatak 2 pri dijeljenju brojem:
Zapis
(III) Ostatak 3 pri dijeljenju brojem:
Zapis
Nizovi (0), (I), (II) i (III) su potpuno različiti, tj. nikoja dva nemaju zajedničkih članova, a ukupno čine skup svih prirodnih brojeva (uključujući i 0). Svaki od njih odgovara jednom od ostataka pri dijeljenju brojem 4, tj. brojevima 0, 1, 2 i 3.
Ti se nizovi mogu zapisati kao:
,
,
,
za
Kvadrati u aritmetičkoj progresiji
Razmotrimo nekoliko prvih članova niza
za
:
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161, 166, 171, 176, 181, 186, 191, 196, 201...
Posebno smo istaknuli kvadrate:
Razmaci među kvadratima povećavaju, tj. kvadrati su sve rjeđi. Možemo postaviti pitanje ima li u ovom nizu konačno ili beskonačno mnogo kvadrata prirodnih brojeva.
Razmotrimo nekoliko članova niza
2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47
Izgleda da u tom nizu nema kvadrata prirodnih brojeva.
Slično je, izgleda, s nizom
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48...
Niz
sličan je nizu
:
4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, 69, 74, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109, 114, 119, 124, 129, 134, 139, 144, 149, 154, 159, 164, 169, 174, 179, 184, 189, 194, 199, 204, 209... dok je niz
} vrlo jasan: 0, 5, 10, 15, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110...
Odnosno
je kvadrat cijelog broja ako i samo ako je n oblika
To uočavamo iz
. Time smo dokazali ne samo to da niz
} ima beskonačno mnogo kvadrata, već i to da su ti kvadrati oblika
.
Niz
} i
} ne sadrže niti jedan kvadrat. Za to je dovoljno uočiti sljedeće jednakosti:
![{\displaystyle (5k)^{2}=25k^{2}=5(5k^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a089f8dc7b4c3adf033ade54091ec54056c0092)
![{\displaystyle (5k+1)^{2}=(5k)^{2}+2*5k*1+1^{2}=5(5k^{2}+2k)+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa96a1a63a70ddfa9f3ccbaff6251f0685357ed2)
![{\displaystyle (5k+2)^{2}=(5k)^{2}+2*5k*2+2^{2}=5(5k^{2}+4k)+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d63e2d90b4e430565b830fe6f97310531abbfb)
![{\displaystyle (5k+3)^{2}=(5k)^{2}+2*5k*3+3^{2}=5(5k^{2}+6k)+9=5(5k^{2}+6k+1)+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c2141261a4c21e9ae169f76841875762125ba0)
![{\displaystyle (5k+4)^{2}=(5k)^{2}+2*5k*4+4^{2}=5(5k^{2}+8k)+16=5(5k^{2}+8k+3)+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c61e954bc25329114778179df3bef9d97e68f20)
Izrečeno drugim riječima:
- ako je broj djeljiv brojem 5, i njegov kvadrat je djeljiv brojem 5,
- ako broj ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5,
- ako broj ima ostatak 2 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5,
- ako broj ima ostatak 3 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5,
- ako broj ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5.
U nizu
ima beskonačno mnogo kvadrata. Broj oblika
je kvadrat ako i samo ako je oblika
ili
Prvi oblik imaju
itd., dok drugi imaju
itd. i oni se dobiju ako u gornje izraze uvrstimo redom
Lako se provjeri da ovi kvadrati zaista imaju ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5. Ako želimo neki veliki broj koji je kvadrat i ujedno pri dijeljenju brojem 5 ima ostatak 1, u neki od gornjih izraza uvrstimo velik k, primjerice k = 100. Iz prvog izraza dobijemo
, a iz drugoga
.
U nizu
ima beskonačno mnogo kvadrata. Broj oblika
je kvadrat ako i samo ako je oblika
ili
Vrijedi i uopšteno
Ako aritmetička progresija
} ,
sadrži barem jedan kvadrat, onda on sadrži beskonačno mnogo kvadrata. Jedna progresija kvadrata u tom nizu je oblika
, gdje je
jedan kvadrat što ga taj niz sadrži i
Ako u nju uvrstimo
, dobit ćemo
Zato, ako je
za neki r (tj. ako progresija
} sadrži neki kvadrat), onda je
što je, opet, član niza {dn + b}. To vrijedi za sve k = 0, 1, 2, 3... pa niz {dn + b} ima beskonačno mnogo kvadrata.
Kubovi u aritmetičkoj progresiji
Posmatrajmo progresiju
i istaknimo kubove prirodnih brojeva u njemu: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161, 166, 171, 176, 181, 186, 191, 196, 201...
U popisu ima samo jedan kub, broj 1, što ne znači da u tom nizu nema više kubova. Ako vrijedi tvrdnja analogna onoj za kvadrate, trebalo bi ih biti beskonačno mnogo. Pokušajmo odrediti analognu formulu, i to za svaku razliku, a ne samo za
.
Formula za kub zbira je
Smjenon
i
dobijemo
, što je, oblika
za svako k, pa niz
sadrži beskonačno mnogo kubova.
U našem slučaju je
pa je formula za kubove
za
dobijamo
, što već imamo, za
dobivamo
, za
dobijamo
itd.
Brojevi
su kubovi u progresiji
Uopšteno važi
Ako aritmetička progresija
za
sadrži barem jedan kub, onda on sadrži beskonačno mnogo kubova. Jedan niz kubova u toj progresiji oblika
, gdje je
jedan kub što ga ta progresija sadrži i
Potencije u aritmetičkioj progresiji
Ako aritmetička progresija
za
,
sadrži barem jednu s-tu potenciju, onda on sadrži beskonačno mnogo s-tih potencija. Jedna progresija s-tih potencija u toj progresiji je oblika
, gdje je
jedna s-ta potencija što ga ta progresija sadrži i
Ova tvrdnja proizlazi iz formule za binomne formule.
Mi ćemo je izvesti iz formula za razliku potencija koje se mogu provjeriti direktnim računanjem.
uopšteno
Za
za neki
, tj. ako progresija
sadrži s-tu potenciju, stavljajući to u jednakost (*) dobijemo
, što je oblika
, pa je s-ta potencija
član progresije
za svaki
Tako dobijemo beskonačno mnogo s-tih potencija u nizu
. tome nizu.
Suma (aritmetičkog reda)
Suma komponenata aritmetičke progresije naziva se aritmetički red.
Posmatrajmo zbir
prvih 5 članova aritmetičkog niza.
Zbir može biti brzo pronađen množenjem broja n članova koji se dodaju (
) zbirom prvog i poslednjeg člana niza (
), i deljenjem sa
U našem slučaju, dobijamo jednačinu:
Formula važi za bilo koje realne brojeve
i
.
Na primer:
Izrazimo artimetički red na dva različita načina:
![{\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\dots \dots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6113b36c43a1329569a386222bda100df5d8c2ef)
![{\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\dots \dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fc2da4ae6cf3f2a2e6d3097153fb7a5c3afedc)
Saberimo obje jednačina, lijevu stranu prve jednačine sa lijevom stranom druge jednačine, te desnu stranu prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. Svi članovi koji sadrže d se poništavaju, a ostaje nam:
![{\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721f18b36a38cbea4d37cca98d272654d4671a9e)
Sređivajući i uzimajući u obzir da je
, dobijamo:
![{\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7db9173524e248b066957daf97e99ed151b4fdf)
Proizvod
Proizvod komponenata aritmetičke progresije sa početnim elementom
, razlikom između člaova
,te
elemenata u totalu, je određen izrazom
![{\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3f7cbb61275de308e9815d7b0b5fc7e1579801)
gdje
označava Pochhammerov simbol, a
označava gama funkciju. (Zapazite da formula ne vrijedi kada je
negativan cijeli broj ili kada je nula).
Ovo je generalizacija iz činjenice da je proizvod progresije
dat preko faktorijela
, te da je proizvod
![{\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57b4651135ca354b7935786fc0a9646b239b21a)
za prirodne brojeve
i
dat sa
![{\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac22ceab2e7b203422d50430d6146d2d0dc37c25)
Povezano
- Sabiranje
- Geometrijska progresija
- Općenita geometrijska progresija
- Green–Taov teorem
- Beskonačan aritmetički red
- Thomas Malthus
- Prosti brojevi u aritmetičkoj progresiji
- Kahunov papirus, Rhindov matematički papirus
Reference
- Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. str. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.
Izvor
Potencije u aritmetičkim nizovima/Anđelko Marić, Sinj i Ivica Gusić, Zagreb/Matka 23 (2014/2015)br 92
Vanjski linkovi
- Arithmetic Progression Calculator Arhivirano 2008-12-21 na Wayback Machine-u