U matematici, Fibonaccijevi polinomi su polinomski niz koji se može smatrati kao generalizacija Finonaccijevih brojeva.
Definicija
Ovi polinomi su definisani sa relacijom ponavljanja[1]:
![{\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{ako je}}n=0\\1,&{\mbox{ako je }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{ako je }}n\geq 2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e955aba290835653faaee42a97d645765acea047)
Osobine
Prvih par Fibonačijevih polinoma su:[2]
![{\displaystyle F_{1}(x)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658facd8ef73879e20b3143b4615c4b9f749b26d)
![{\displaystyle F_{2}(x)=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29f80479602de8440e796c9d6224d1c7cde2e09)
![{\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef6aa18ca8d576b4329459ea51eb3dd67bca70d)
![{\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764aadf16474f43df83cc768073d216036d545d1)
![{\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f6dcfb45e870d88d29ba6ef9fb7c28106438bd)
![{\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b06bda879fee7755b9a905a1aa27b2e7131744)
Fibonačijevi brojevi se dobijaju izračunavanjem vrijednosti polinoma u x = 1. Stepen od Fn je n-1. Obična generativna funkcija za niz glasi[3]
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0321d355b09e9ee1573c06597b2b81d7b402d5be)
Lucasovi polinomi
Odgovarajući Lucasovi polinomi Ln(x) ima slične veze sa Lucasovim brojevima. Oni zadovoljavaju istu relaciju ponavljanja, sa različitim početnim vrijednostima:[4]
Prvih par Lucasovih polinoma su:
![{\displaystyle L_{1}(x)=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e37ee360f5e529e274da698748b1e26db9914ebe)
![{\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19edf53ec1dc9fda8ffc2dcf763a4b3dd716a02e)
![{\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae75fb213b67a5801c8c0defab7b7d2fa3b6346)
![{\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d7619c106c9c758bcd8ac1c773e48029d1ef0a)
![{\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66c54a1e8c5ccc66018bdac6f297d68e14d6340)
![{\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8865c20c7cef9e5cc8e1fdab6f43a271183eba76)
Lucasovi brojevi dobijaju se izračunavanjem polinoma u x = 1. Stepen od Ln je n. Obična generativna funkcija za niz glasi
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7ad1d18d9eb9b93d7c2423ae6f5474f924a1e1)
Reference
- ↑ Fibonacci polynomials
- ↑ Weisstein, Eric : Lucas Polynomial
- ↑ Weisstein, Eric W : Fibonacci Polynomial[mrtav link]
- ↑ Lucas polynomials
- Hoggatt, V.E., jun.; Bicknell, Marjorie (1973). „Roots of Fibonacci polynomials.”. Fibonacci Quarterly 11: 271-274. ISSN 0015-0517.
- Ricci, Paolo Emilio (1995). „Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials”. Riv. Mat. Univ. Parma, V. Ser. 4: 137-146.
Vanjski linkovi
- Weisstein, Eric W., "Fibonaccijevi polinomi", MathWorld.
- Weisstein, Eric W., "Fibonaccijevi polinomi", MathWorld.