Fibonaccijevi polinomi

U matematici, Fibonaccijevi polinomi su polinomski niz koji se može smatrati kao generalizacija Finonaccijevih brojeva.

Definicija

Ovi polinomi su definisani sa relacijom ponavljanja[1]:

F n ( x ) = { 0 , ako je n = 0 1 , ako je  n = 1 x F n − 1 ( x ) + F n − 2 ( x ) , ako je  n ≥ 2 {\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{ako je}}n=0\\1,&{\mbox{ako je }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{ako je }}n\geq 2\end{cases}}}

Osobine

Prvih par Fibonačijevih polinoma su:[2]

F 1 ( x ) = 1 {\displaystyle F_{1}(x)=1\,}
F 2 ( x ) = x {\displaystyle F_{2}(x)=x\,}
F 3 ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}
F 4 ( x ) = x 3 + 2 x {\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}
F 5 ( x ) = x 4 + 3 x 2 + 1 {\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}
F 6 ( x ) = x 5 + 4 x 3 + 3 x {\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}

Fibonačijevi brojevi se dobijaju izračunavanjem vrijednosti polinoma u x = 1. Stepen od Fn je n-1. Obična generativna funkcija za niz glasi[3]

∑ m = 0 ∞ F n ( x ) t n = t 1 − x t − t 2 . {\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}.}

Lucasovi polinomi

Odgovarajući Lucasovi polinomi Ln(x) ima slične veze sa Lucasovim brojevima. Oni zadovoljavaju istu relaciju ponavljanja, sa različitim početnim vrijednostima:[4]

L n ( x ) = { 2 , ako je  n = 0 x , ako je  n = 1 x L n − 1 ( x ) + L n − 2 ( x ) , ako je  n ≥ 2 {\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{ako je }}n=0\\x,&{\mbox{ako je }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{ako je }}n\geq 2\end{cases}}}

Prvih par Lucasovih polinoma su:

L 1 ( x ) = x {\displaystyle L_{1}(x)=x\,}
L 2 ( x ) = x 2 + 2 {\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}
L 3 ( x ) = x 3 + 3 x {\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}
L 4 ( x ) = x 4 + 4 x 2 + 2 {\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}
L 5 ( x ) = x 5 + 5 x 3 + 5 x {\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}
L 6 ( x ) = x 6 + 6 x 4 + 9 x 2 + 2 {\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2\,}

Lucasovi brojevi dobijaju se izračunavanjem polinoma u x = 1. Stepen od Ln je n. Obična generativna funkcija za niz glasi

∑ m = 0 ∞ L n ( x ) t n = 2 − x t 1 − x t − t 2 . {\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}

Reference

  1. ↑ Fibonacci polynomials
  2. ↑ Weisstein, Eric : Lucas Polynomial
  3. ↑ Weisstein, Eric W : Fibonacci Polynomial[mrtav link]
  4. ↑ Lucas polynomials
  • Hoggatt, V.E., jun.; Bicknell, Marjorie (1973). „Roots of Fibonacci polynomials.”. Fibonacci Quarterly 11: 271-274. ISSN 0015-0517. 
  • Ricci, Paolo Emilio (1995). „Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials”. Riv. Mat. Univ. Parma, V. Ser. 4: 137-146. 

Vanjski linkovi

  • Weisstein, Eric W., "Fibonaccijevi polinomi", MathWorld.
  • Weisstein, Eric W., "Fibonaccijevi polinomi", MathWorld.