Aproksimacija funkcije f(x) = 1/(1 + x2) njenim Tejlorovim polinomom Pk reda k = 1, ..., 16 centrirana u x = 0 (crvena boja) i x = 1 (zelena boja). Aproksimacije nisu zadovoljavajuće van intervala (-1,1) i (1-√2,1+√2), respektivno.
Tejlorova formula, koja je dobila ime po matematičaru Bruku Tejloru, koristi se za približno izračunavanje funkcija u okolini neke određene tačke uz pomoć Tejlorovih polinoma.
Sadržaj
1Tejlorov polinom
2Dokaz
3Tejlorova formula u Lagranžovom obliku
4Primer
5Povezano
6Literatura
Tejlorov polinom
Glavni članak: Tejlorov polinom
Tejlorov polinom za neku funkciju i datu tačku je definisan na sledeći način:
Pošto se pri takvoj aproksimaciji funkcije polinomom pravi nekakva greška, deo za koji se razlikuje funkcija i polinom nazivamo ostatkom polinoma i on iznosi:
Tako se svaka funkcija može predstaviti kao zbir odgovarajućeg Tejlorovog polinoma za tačku koju smo mi sami izabrali i greške koju smo napravili tom aproksimacijom:
Dokaz
Dokaz da se svaka funkcija može predstaviti kao zbir Tejlorovog polinoma i njegovog ostatka možemo sprovesti indukcijom.
Baza indukcije:
Da Tejlorova formula važi za možemo dokazati putem parcijalne integracije:
Korak indukcije: Uzmimo onda da za neko važi:
Dokaz:
Koristimo :
Parcijalnom integracijom:
,
što smo i hteli da dokažemo.
Tejlorova formula u Lagranžovom obliku
Tejlorova formula u Lagranžovom obliku se dobija kada se na izraz Tejlorove formule
primeni Lagranžova teorema za srednju vrednost:
, gde je
Primer
Izračunavanje nijedne trigonometrijske funkcije u opštem slučaju nije trivijalno. Međutim, za rezultate sa određenom tačnošću, Tejlorova formula daje veoma dobre rezultate koji se mogu i jako brzo izračunati.
Tako, na primer, možemo izračunati približnu vrednost sinusa u opsegu -0.5 do 0.5. Jedna od najefikasnijih mogućnosti za izračunavanje je primena Tejlorovog polinoma na tačku 0.
Za sinus znamo da važi:
Tejlorov polinom prvog stepena stoga glasi:
U posmatranom intervalu, rezultati aproksimacije su prilično dobri, jer je greška:
najveća kod tačaka -0.5 i 0.5 i ona iznosi:
, što je sa praktične tačke gledišta sasvim prihvatljivo.
Tako možemo i praktično da opazimo da je naša približna vrednost sve gora aproksimacija što se dalje udaljavamo od tačke .
Za bolje aproksimacije i manje greške, potrebno je samo funkciju razviti do viših stepena i tako se sve više i više približavati traženoj funkciji.
Prikazane su aproksimacije funkcije za razvijanje do sve viših i viših redova (do prvog reda - crvenom bojom, do trećeg reda - zelenom bojom, ...):