Algebra över en kropp

En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.

Definition

En algebra ${\displaystyle A}$ över en kropp ${\displaystyle K}$ är ett vektorrum ${\displaystyle A}$ där det för varje par av element ${\displaystyle x,y\in A}$ finns en unik produkt ${\displaystyle xy\in A}$ med egenskaperna:^[1]

• ${\displaystyle x(y+z)=xy+xz\,}$
• ${\displaystyle (x+y)z=xz+yz\,}$
• ${\displaystyle \alpha (xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)\,}$

för ${\displaystyle x,y,z\in A}$ och ${\displaystyle \alpha \in K}$.

${\displaystyle A}$ sägs vara en associativ algebra om

${\displaystyle x(yz)=(xy)z\,}$

och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om

${\displaystyle xy=yx\,}$.

${\displaystyle A}$ kallas för algebra med neutralt element om det finns ett ${\displaystyle e\in A}$ så att

${\displaystyle ex=xe=x\,}$.

Om ${\displaystyle A}$ har ett neutralt element är det unikt. För om man antar att det finns två neutrala element, ${\displaystyle e}$ och ${\displaystyle e'}$, får man att

• ${\displaystyle ee'=e}$ eftersom ${\displaystyle e'}$ är ett neutralt element.
• ${\displaystyle ee'=e'}$ eftersom ${\displaystyle e}$ är ett neutralt element.

Alltså är ${\displaystyle e=e'}$.

Normerad algebra

En associativ algebra ${\displaystyle A}$ kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller

• ${\displaystyle \|xy\|\leq \|x\|\|y\|}$ för alla ${\displaystyle x,y\in A}$
• ${\displaystyle \|e\|=1}$ om ${\displaystyle A}$ har ett neutralt element ${\displaystyle e}$.

En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.^[2]

Exempel

Tredimensionellt euklidiskt rum

Inre produktrummet ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.

Matrisrum

Rummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med ${\displaystyle n}$ rader är en icke-kommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element.^[3] Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.^[2]

Funktionsrum

Rummet ${\displaystyle C[a,b]}$ av alla kontinuerliga funktioner på intervallet ${\displaystyle [a,b]}$ är en Banachalgebra med operationen^[2]

${\displaystyle (xy)(t)=x(t)y(t)\,}$ för alla ${\displaystyle x(t),y(t)\in C[a,b]}$

${\displaystyle C[a,b]}$ har det neutrala elementet 1 och normen

${\displaystyle \|x\|=\max _{t\in [a,b]}x(t)}$.

Referenser

Noter

Källor

• Karush, William; Jan Thomson och Bertil Rahm (1962). Matematisk uppslagsbok. Wahlström & Widstrand 

Externa länkar

• http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:310457/FULLTEXT01.pdf