Baselproblemet formulerades 1644 av Pietro Mengoli och löstes av Leonhard Euler 1734 (lösningen presenterades 1735 inför Rysslands Vetenskapsakademi[1]). Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zetafunktion.
Problemet är att finna vad serien
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b42204c71e0c7128ff6f317abcb1deea9c6a946)
konvergerar mot.
Eulers lösning
För att visa detta samband utgick Euler från maclaurinutvecklingen av sinus:
![{\displaystyle \sin z=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1111cf5d5f80c95fe001c05c74a187b14aa1b5c5)
För ekvationen
blir en rot
, och för övriga gäller enligt ovan:
![{\displaystyle 1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147fc8759b5efaf81e01802ec080706e4b23cdec) | (1) |
Med variabelbytet
får vi följande ekvation:
![{\displaystyle 1-{\frac {w}{3!}}+{\frac {w^{2}}{5!}}-{\frac {w^{3}}{7!}}+\cdots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d0d5b9aab0b79df927e926db4d30fe4bc62bd2) | (2) |
De nollskilda lösningarna till
är
vilket ger
som lösningar till ekvationen ovan.
Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om
är rötter till ekvationen
gäller:
![{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a807a254940e1debfff9b01b45c24021c482b7b9)
Tillsammans med ekvation 2 får vi då (
och
):
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{(2\pi )^{2}}}+{\frac {1}{(3\pi )^{2}}}+\cdots ={\frac {1}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2970c1915bfbecc7a1761fe44aba8f5ec0a5a3be) | (3) |
Genom att multiplicera detta med
följer att
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a915462f991c41d6da8e006e857aed0ee427cf)
Referenser
- ^ E41 – De summis serierum reciprocarum
- Boris Sjöberg. Från Euklides till Hilbert. Åbo Akademis förlag, 2001. ISBN 952-9616-44-9.